[论文解读] Oddomorphisms and homomorphism indistinguishability over graphs of bounded degree

David E. Roberson|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文引入弱奇同态（weak oddomorphisms）——即满足顶点原像大小奇偶性约束的同态——并利用其分析有界度图族上的同态不可区分性。研究证明，有界度图上的同态不可区分性并不蕴含同构，从而解决了长达十多年的开放性问题，并提出了关于极小闭包、并集闭包与不同不可区分关系之间联系的新猜想。

ABSTRACT

We introduce (weak) oddomorphisms of graphs which are homomorphisms with additional constraints based on parity. These maps turn out to have interesting properties (e.g., they preserve planarity), particularly in relation to homomorphism indistinguishability. Graphs $G$ and $H$ are *homomorphism indistinguishable* over a family $\mathcal{F}$ if $\hom(F,G) = \hom(F,H)$ for all $F \in \mathcal{F}$, where $\hom(F,G)$ is the number of homomorphisms from $F$ to $G$. A classical result of Lovász says that isomorphism is equivalent to homomorphism indistinguishability over the class of all graphs. In recent years it has been shown that many homomorphism indistinguishability relations have natural algebraic and/or logical formulations. Currently, much research in this area is focused on finding such reformulations. We aim to broaden the scope of current research on homomorphism indistinguishability by introducing new concepts/constructions and proposing several conjectures/questions. In particular, we conjecture that every family closed under disjoint unions and minors gives rise to a distinct homomorphism indistinguishability relation. We also show that if $\mathcal{F}$ is a family of graphs closed under disjoint unions, restrictions to connected components, and weak oddomorphisms, then $\mathcal{F}$ satisfies a certain maximality or closure property: homomorphism indistinguishability over $\mathcal{F}$ of $G$ and $H$ does not imply $\hom(F,G) = \hom(F,H)$ for any $F otin \mathcal{F}$. This allows us to answer a question raised over ten years ago, showing that homomorphism indistinguishability over graphs of bounded degree is not equivalent to isomorphism.

研究动机与目标

• 通过引入新的结构概念，将同态不可区分性研究的范围拓展至已知刻画之外。
• 探究有界度图上的同态不可区分性是否蕴含同构，该问题悬而未决十余年。
• 提出并分析将极小闭包、不相交并集闭包与弱奇同态联系起来的新型猜想，以揭示其与不同不可区分关系的关系。
• 建立对在弱奇同态下封闭的图族的极大性性质，表明此类图族无法在不改变不可区分性关系的前提下进一步扩展。
• 探索图族的代数、逻辑与拓扑性质与其对应同态不可区分性关系之间的关系。

提出的方法

• 引入弱奇同态作为满足顶点原像大小奇偶性约束的同态。
• 利用同态计数在不相交并集上可分解的性质：$\hom(F_1 \cup F_2, G) = \hom(F_1, G) \cdot \hom(F_2, G)$。
• 应用极大性结果：若图族 $\mathcal{F}$ 在不相交并集、连通分支限制与弱奇同态下封闭，则对任意 $F \notin \mathcal{F}$，有 $\cong_{\mathcal{F}}$ 不蕴含 $\hom(F,G) = \hom(F,H)$。
• 利用洛瓦兹的经典结果：同构等价于在所有图上同态不可区分性。
• 将通过有界度图族区分非同构图的问题，归约为存在图 $H, H'$，使得其在包含 $K_n$ 作为极小图的图上的同态计数不同。
• 提出弱奇同态可能构成极小序的子序，暗示奇偶性约束与图极小性之间存在结构联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界度图上的同态不可区分性是否蕴含同构？
• RQ2 每个在极小与并集下封闭的图族是否都对应一个独特的同态不可区分关系？
• RQ3 是否存在从图到完全图 $K_n$ 的弱奇同态，可用于刻画 $K_n$ 作为极小图的存在性？
• RQ4 若同态不可区分关系在取图补图下保持不变，是否必然等价于由极小闭图族定义的关系？
• RQ5 判定 $\cong_{\mathcal{F}}$ 的复杂性与 $\mathcal{F}$ 的结构性质之间存在何种关系？

主要发现

• 有界度图上的同态不可区分性不蕴含同构，回答了超过十年未解的问题。
• 本文证明：若图族 $\mathcal{F}$ 在不相交并集、连通分支限制与弱奇同态下封闭，则 $\cong_{\mathcal{F}}$ 具有极大性：任何 $F \notin \mathcal{F}$ 的添加都会改变不可区分性关系。
• 猜想6——同态计数仅在包含 $K_n$ 作为极小图的图上不同——等价于猜想5，后者指出任意真极小与并集闭图族均给出非同构的不可区分关系。
• 存在从图到 $K_N$ 的弱奇同态，可能暗示该图包含 $K_n$ 作为极小图，提示奇偶性约束与极小包含之间存在结构联系。
• 弱奇同态的偏序可能构成反极小序的子序，表明同态与图极小性之间存在更深层次的代数-拓扑联系。
• 本文建立：平面图上的同态不可区分性等价于量子同构，而有界树宽图上的同态不可区分性等价于Sherali-Adams层级，强化了图类结构在不可区分性中的作用。