[论文解读] Odds-On Trees

Prosenjit Bose, Luc Devroye+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文提出 odds-on trees，一种大小为 O(n^ε) 的数据结构，通过使用分布感知结构快速过滤查询，同时将其他查询交由现有的 O(log n) 时间复杂度数据结构 S 处理，从而加速几何搜索问题的查询处理。关键结果是期望查询时间为 O(H* + 1)，其中 H* 是该问题任何线性决策树的理论信息下界。

ABSTRACT

Let R^d -> A be a query problem over R^d for which there exists a data structure S that can compute P(q) in O(log n) time for any query point q in R^d. Let D be a probability measure over R^d representing a distribution of queries. We describe a data structure called the odds-on tree, of size O(n^\epsilon) that can be used as a filter that quickly computes P(q) for some query values q in R^d and relies on S for the remaining queries. With an odds-on tree, the expected query time for a point drawn according to D is O(H*+1), where H* is a lower-bound on the expected cost of any linear decision tree that solves P. Odds-on trees have a number of applications, including distribution-sensitive data structures for point location in 2-d, point-in-polytope testing in d dimensions, ray shooting in simple polygons, ray shooting in polytopes, nearest-neighbour queries in R^d, point-location in arrangements of hyperplanes in R^d, and many other geometric searching problems that can be solved in the linear-decision tree model. A standard lifting technique extends these results to algebraic decision trees of constant degree. A slightly different version of odds-on trees yields similar results for orthogonal searching problems that can be solved in the comparison tree model.

研究动机与目标

• 设计一种数据结构，通过利用查询分布来减少几何搜索问题的期望查询时间。
• 实现接近线性决策树模型下信息理论下界 H* 的性能。
• 提供一个适用于线性决策树模型中多种几何问题的通用框架。
• 通过提升技术将该方法扩展至代数决策树，通过比较树模型中的变体扩展至正交问题。

提出的方法

• 使用定义在 R^d 上的概率测度 D 来表示查询分布，构建 odds-on tree。
• 采用分层的、分布感知的结构，将频繁查询的点路由至快速路径。
• 该树保持 O(n^ε) 的大小，同时确保高概率查询能被快速处理。
• 与现有数据结构 S 集成，S 对剩余情况的查询可在 O(log n) 时间内回答。
• 采用提升技术将该方法扩展至常数阶代数决策树。
• 对 odds-on tree 的一种变体在比较树模型中适配用于正交搜索问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种数据结构，使几何搜索问题的期望查询时间接近信息理论下界 H*？
• RQ2 如何利用查询分布来加速搜索，同时不牺牲最坏情况下的保证？
• RQ3 在分布敏感 搜索中，数据结构大小与期望查询时间之间的权衡是什么？
• RQ4 该框架能否推广至代数决策树和正交问题？
• RQ5 通过分布敏感 过滤可实现的性能提升理论极限是什么？

主要发现

• Odds-on tree 实现了 O(H* + 1) 的期望查询时间，与信息理论下界仅相差一个常数项。
• 该数据结构的大小为 O(n^ε)（对任意 ε > 0），在保持强大性能提升的同时具有紧凑性。
• 该框架广泛适用于点定位、多面体内的点判定、射线射击、最近邻以及排列点定位等问题。
• 提升技术将结果扩展至常数阶代数决策树，同时保持期望查询时间的上界。
• odds-on tree 的一种变体在比较树模型中对正交搜索问题也实现了类似的性能提升。
• 该方法表明，分布敏感 设计可在多种几何搜索问题中实现接近最优的期望性能。