[论文解读] ODE/IM Correspondence in Toda Field Theories and Fermionic Basis in sin(h)-Gordon Model

Stefano Negro|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 5

一句话总结

本博士论文通过利用仿射李代数的评价表示所导出的投影同构与ψ-系统，将ODE/IM对应关系推广至单连通仿射Toda场论。此外，本文进一步发展了sinh-Gordon模型中单点函数的费米子基形式，推导出行列式公式并求解了反射关系，并通过Yang-Yang泛函将量子一维函数与经典作用量联系起来。

ABSTRACT

The first part of this work consists of a study of the ODE/IM correspondence for simply-laced affine Toda field theories. It is a first step towards a full generalisation of the results of Lukyanov and Zamolodchikov on $\hat{\mathfrak a}_1$ to a general affine Lie-Kač-Moody algebra $\hat{\mathfrak g}$. In order to achieve our goal, we investigate the structure of evaluation representations of $\hat{\mathfrak g}$ and show how their tensor products are related by what we call projected isomorphisms. These isomorphisms are used to construct a set of quadratic functional relations, called $ψ$-system, for the solutions to complex differential equations associated to $\hat{\mathfrak g}$. Finally, from the $ψ$-system for the algebras $\mathfrak a$ and $\mathfrak d$, we derive a set of Bethe Ansatz equations satisfied by the eigenvalues of some particular boundary problem for the above mentioned differential equations. The second part of this work deals with the study of one-point functions in sine- and sinh-Gordon models. The approach to the computation of these quantities follows a powerful method, which we call fermionic basis, developed by Boos et al. for the XXZ, quantum Liouville and quantum sine-Gordon models. We show how the determinant formula for one-point functions obtained there can be generalised to the sinh-Gordon model. In doing so we give an interpretation of the fermionic basis in terms of certain symmetries of the system. This new perspective will also allow us to solve trivially the reflection relations introduced by Fateev et al. We then provide analytical and numerical results supporting our finding.

研究动机与目标

• 将ODE/IM对应关系从A系列推广至一般单连通仿射李代数，利用评价表示中的代数结构。
• 通过由投影同构构造的ψ-系统，推导复微分方程谱行列式的Bethe Ansatz方程。
• 将费米子基形式推广至sinh-Gordon模型，实现对费米子继承算符单点函数的计算。
• 利用费米子基形式求解sinh-Gordon模型中的反射关系，提供基于对称性的结构解释。
• 通过在广义Gibbs系综背景下使用壳上Yang-Yang泛函，将量子一维函数与经典作用量联系起来。

提出的方法

• 构建仿射李代数评价表示张量积之间的投影同构，以生成ψ-系统。
• 从这些同构的结构中推导出二次函数关系（ψ-系统），进而导出边界问题特征值的Bethe Ansatz方程。
• 将原本为XXZ与Liouville模型所开发的费米子基形式，通过作用于单位算符的生成算符，应用于sinh-Gordon模型。
• 利用一维函数的行列式公式，将其表示为壳上Yang-Yang作用量的Hessian行列式。
• 通过展示其与费米子基的一致性，利用基于对称性的基结构解释，求解反射关系。
• 在广义Gibbs系综中，通过正则化的Yang-Yang泛函，建立量子一维函数与经典欧氏sinh-Gordon作用量之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用表示论结构，将ODE/IM对应关系从A系列推广至任意单连通仿射李代数？
• RQ2 投影同构在生成Toda场论ψ-系统与Bethe Ansatz方程中起到何种作用？
• RQ3 如何将费米子基形式推广至sinh-Gordon模型，以计算费米子继承算符的一维函数？
• RQ4 能否利用费米子基形式求解sinh-Gordon模型中的反射关系？其背后的对称性结构是什么？
• RQ5 量子一维函数在sinh-Gordon模型中在多大程度上可通过Yang-Yang泛函与经典作用量对应？

主要发现

• 单连通仿射Toda场论的ψ-系统由评价表示之间的投影同构导出，进而导出谱行列式的Bethe Ansatz方程。
• sinh-Gordon模型中费米子继承算符的一维函数表示为壳上Yang-Yang作用量Hessian的行列式，对所有有理数场维数偏移均成立。
• 费米子基形式通过提供底层代数结构的对称性解释，求解了sinh-Gordon模型中的反射关系。
• 通过连续性，将一维函数的行列式公式推广至无理数场维数，其依据为移位对称性与解析性。
• 在广义Gibbs系综中，建立了壳上Yang-Yang作用量与正则化经典欧氏sinh-Gordon作用量之间的联系。
• 费米子基形式被证明与已知结果一致，包括LeClair-Mussardo公式与R→0和R→∞极限下的经典极限。