[论文解读] Off-shell BCJ Relation in Nonlinear Sigma Model

Gang Chen, Shuyi Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文在凯莱参数化下，为非线性 sigma 模型中偶点树幅电流提出了并证明了一个修正的非壳 BCJ 关系。与杨-米尔斯理论不同，该非壳 BCJ 关系在排列求和时并不消失，而是等于特定排序下具有 BCJ 系数的子电流乘积之和，从而在这一有效场论中完整实现了壳 BCJ 关系的非壳对应。

ABSTRACT

We investigate relations among tree-level off-shell currents in nonlinear sigma model. Under Cayley parametrization, we propose and prove a general revised BCJ relation for even-point currents. Unlike the on-shell BCJ relation, the off-shell one behaves quite differently from Yang-Mills theory although the algebraic structure is the same. After performing the permutation summation in the revised BCJ relation, the sum is non-vanishing, instead, it equals to the sum of sub-current products with the BCJ coefficients under a specific ordering, which is presented by an explicit formula. Taking on-shell limit, this identity is reduced to the on-shell BCJ relation, and thus provides the full off-shell correspondence of tree-level BCJ relation in nonlinear sigma model.

研究动机与目标

• 建立非线性 sigma 模型中树幅 BCJ 关系的完整非壳对应。
• 将先前的壳 BCJ 关系扩展至非壳区域，特别是当一个外部线处于非壳状态时。
• 解决尽管具有相同的代数结构，非线性 sigma 模型与杨-米尔斯理论中非壳 BCJ 关系之间的结构性差异。
• 利用伯雷尔斯-吉尔递归关系和凯莱参数化，为偶点电流提供一个通用恒等式。
• 通过显式六点计算验证该关系，并利用递归关系加以证明。

提出的方法

• 在凯莱参数化下使用伯雷尔斯-吉尔递归关系，计算非线性 sigma 模型中的非壳电流。
• 应用 $U(1)$ 解耦恒等式，简化电流乘积并分离出非零项。
• 提出一个修正的 BCJ 关系，其中排列和的结果非零，且等于具有 BCJ 系数的子电流乘积。
• 使用系数矩阵 $\bm{\mathrm{X}}$、$\bm{\mathrm{D}}$ 和 $\bm{\mathrm{Y}}$ 跟踪不同图类型对贡献的贡献。
• 通过显式计算六点电流，验证修正的 BCJ 关系。
• 利用伯雷尔斯-吉尔递归关系和系数矩阵分析，通过归纳法证明一般关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性 sigma 模型中的非壳 BCJ 关系与它的壳版本及杨-米尔斯理论版本有何不同？
• RQ2 当非线性 sigma 模型中一个外部线处于非壳状态时，非壳 BCJ 关系的正确形式是什么？
• RQ3 为何非壳 BCJ 关系中的排列和不为零，而杨-米尔斯理论中却为零？
• RQ4 能否通过伯雷尔斯-吉尔递归关系和凯莱参数化系统地推导出非壳 BCJ 关系？
• RQ5 非壳 BCJ 关系中非零和的精确结构是什么？它与子电流乘积有何关联？

主要发现

• 非线性 sigma 模型中的非壳 BCJ 关系被修正为：排列和非零，且在特定排序下等于具有 BCJ 系数的子电流乘积之和。
• 该非零和以包含系数矩阵和子电流乘积的公式明确给出，适用于偶点电流。
• 对于六点情形，通过使用伯雷尔斯-吉尔递归关系的显式计算，直接验证了修正的 BCJ 关系。
• 该关系在壳极限下退化为标准的壳 BCJ 关系，确认了与已知结果的一致性。
• 系数矩阵分析表明，仅当 $r-s = -3, -1, 1$ 时，相关项对排列和中的非零项有贡献。
• 尽管代数色结构相同，该非壳关系的结构与杨-米尔斯理论存在根本性差异，这是由于非线性 sigma 模型特有的动量约束所致。