[论文解读] Off-shell renormalization in the presence of dimension 6 derivative operators. II. UV coefficients

Daniele Binosi, Andrea Quadri|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2019

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于带有维度-6导数项的阿贝尔希格斯-基布尔模型的系统性非壳上一环微扰重正化程序，采用辅助X-理论框架，将紫外发散与广义非多项式场重定义分离。该方法计算了所有辐射生成的维度-6规范不变算符的完整紫外系数集合，包括其对非重整化耦合 $ g $ 的依赖性，并通过上同调技术与可缩对确保了规范不变性。

ABSTRACT

The full off-shell one loop renormalization for all divergent amplitudes up to dimension 6 in the Abelian Higgs-Kibble model, supplemented with a maximally power counting violating higher-dimensional gauge-invariant derivative interaction $\sim g ~ ϕ^\dagger ϕ(D^μϕ)^\dagger D_μϕ$, is presented. This allows one to perform the complete renormalization of radiatively generated dimension 6 operators in the model at hand. We describe in details the technical tools required in order to disentangle the contribution to UV divergences parameterized by (generalized) non-polynomial field redefinitions. We also discuss how to extract the dependence of the $β$-function coefficients on the non-renormalizable coupling $g$ in one loop approximation, as well as the cohomological techniques (contractible pairs) required to efficiently separate the mixing of contributions associated to different higher-dimensional operators in a spontaneously broken effective field theory.

研究动机与目标

• 为自发对称性自发破缺的规范理论中具有维度-6导数项的有效场论开发一致的非壳上重正化框架。
• 将由广义非多项式场重定义引起的紫外发散与规范不变算符的物理重正化分离。
• 计算阿贝尔希格斯-基布尔模型中所有辐射生成的维度-6算符的一环紫外系数，其相互作用具有破坏计数规则的 $\sim g\,\phi^\dagger\phi(D^\mu\phi)^\dagger D_\mu\phi$ 形式。
• 利用上同调方法在一环近似下提取非重整化耦合 $g$ 的 $\beta$-函数系数。
• 通过系统处理无物理场和源的规范依赖贡献，确保物理结果的规范不变性。

提出的方法

• 采用辅助X-理论表述，其中物理希格斯自由度通过规范不变的场坐标 $X_2 \sim \phi^\dagger\phi - v^2/2$ 描述，通过拉格朗日乘子 $X_1$ 和源 $\bar{c}^*$、$T_1$ 强制约束。
• 应用代数重正化方法，结合BRST上同调，对与无物理场重定义相关的上同调平凡不变量进行分类与隔离。
• 利用可缩对与 $R_\xi$-规范形式，系统分离不同高维算符的贡献，并确保规范不变性。
• 在X-理论中执行一环1-PI振幅计算，重点关注弱计数行为，该行为将发散振幅限制在每圈阶有限集合内。
• 通过 $X_1$ 和 $X_2$ 的壳上约化，将X-理论结果映射回原始目标理论，将源转换为 $\phi$ 及其协变导数表示的物理算符。
• 在维度正规化下计算紫外系数，保留 $\epsilon$ 极点，显式评估涉及 $\sigma$、$\chi$、$A_\mu$、$\bar{c}^*$、$T_1$ 和 $\bar{c}$ 场的2-、3-和4-点函数的发散部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有高维相互作用的有效场论中，如何系统地将广义非多项式场重定义引起的紫外发散与规范不变算符的物理重正化分离？
• RQ2 在具有破坏计数规则的 $\sim g\,\phi^\dagger\phi D^\mu\phi D_\mu\phi$ 相互作用的阿贝尔希格斯-基布尔模型中，所有辐射生成的维度-6算符的一环紫外系数的完整集合是什么？
• RQ3 非重整化耦合 $g$ 的 $\beta$-函数系数在一环近似下如何依赖于能量尺度 $\Lambda$ 和希格斯真空期望值 $v$？
• RQ4 如何利用上同调技术（如可缩对）在自发对称性破缺的规范理论中分离不同高维算符之间的混合？
• RQ5 X-理论中的规范依赖系数起什么作用，它们如何确保目标理论中物理紫外系数的规范不变性？

主要发现

• 零动量下 $\sigma\sigma\sigma$ 顶点的紫外系数为 $\frac{3}{8\pi^2 v^3}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - m^2M_A^2(1 - \delta_{\xi 0}) + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$，对非费曼规范显式表现出 $\delta_{\xi 0}$ 依赖性。
• $\bar{c}^*\sigma\sigma$ 顶点的一环发散为零：$\overline{\Gamma}^{(1)}_{\bar{c}^*\sigma\sigma} = 0$，表明该源-场耦合无紫外发散。
• $\chi\chi\chi\chi$ 四点函数的发散部分为 $\frac{3}{8\pi^2 v^4}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - 2m^2M_A^2 + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$，包含额外的 $\delta_{\xi 0}$-相关项与动量依赖修正。
• 零动量下 $\sigma\sigma\chi\chi$ 顶点为 $\frac{1}{8\pi^2 v^4}(m^4 + 2m^2M^2 + 2M^4 - 2m^2M_A^2(1 - \delta_{\xi 0}) + 6M_A^4)\frac{1}{\epsilon}$，显式表现出对 $M_A^2$ 和 $\delta_{\xi 0}$ 的依赖。
• 零动量下 $T_1\sigma\sigma$ 顶点为 $\frac{1}{8\pi^2 v}\big(m^2(3M^2 + 2(1 - \delta_{\xi 0})M_A^2) + 6(M^4 + M_A^4)\big)\frac{1}{\epsilon}$，确认了非平凡的规范依赖性。
• $\sigma\chi\chi$ 顶点包含与 $\frac{g}{\Lambda v}$ 成比例的动量依赖发散项，其系数涉及 $m^2$、$M^2$ 和 $M_A^2$，表明紫外结构中存在非平凡混合。