[论文解读] Offline Dynamic Higher Connectivity.

Richard Peng, Bryce Sandlund+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文提出了首个在无向无权图中处理 $t$ 条边更新和 3-顶点/边连通性查询的 $O(t\log t)$ 时间算法，通过借鉴 Eppstein（1994）的思路，将问题约化为关键顶点，从而实现对 2-顶点/边连通性的性能匹配，显著提升了动态连通性计算的效率。

ABSTRACT

We give the first $O(t\log{t})$ time algorithm for processing a given sequence of $t$ edge updates and 3-vertex/edge connectivity queries in an undirected unweighted graph. Our approach builds upon a method by Eppstein (1994) that reduces graphs to smaller equivalents on a set of key vertices. It also leads to algorithms for offline 2-vertex/edge connectivity whose performances match those from Kaczmarz and Lacki (2015).

研究动机与目标

• 设计一种高效离线算法，用于在动态边更新下维护无向无权图中的 3-顶点和 3-边连通性。
• 将 Eppstein（1994）的关键顶点约化技术扩展至支持 3-连通性查询。
• 实现处理 $t$ 条更新和查询的最优 $O(t\log t)$ 时间复杂度。
• 在离线环境下，使性能与先前 2-顶点/边连通性的最优结果相匹配。

提出的方法

• 应用 Eppstein 的关键顶点约化方法，将图压缩为关键顶点上的更小等价图。
• 在约化图上维护连通性信息，以高效回答 3-连通性查询。
• 以离线方式处理边更新和查询，批量处理操作以实现最优性能。
• 利用图的分层分解结构，支持在约化结构上进行快速连通性检查。
• 利用离线模型预处理更新操作，并在 $O(t\log t)$ 总时间内回答查询。
• 将同一框架扩展至处理 2-顶点和 2-边连通性问题，实现相同的渐近时间效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种离线算法，使 3-顶点/边连通性查询在 $O(t\log t)$ 时间复杂度内完成？
• RQ2 如何将 Eppstein 的关键顶点约化方法适配以支持 3-连通性查询？
• RQ3 在无向无权图中，离线 3-连通性问题可达到的最优时间复杂度是多少？
• RQ4 该方法是否可复用于匹配 2-连通性问题的最先进性能？
• RQ5 图的何种结构特性使得动态连通性查询的离线处理能够高效进行？

主要发现

• 本文首次实现了在离线环境下处理 $t$ 条边更新和 3-顶点/边连通性查询的 $O(t\log t)$ 时间复杂度算法。
• 所提出的方法依赖于在关键顶点上的图约化，同时保持了 3-连通性特性。
• 该算法的时间复杂度与离线 2-顶点和 2-边连通性问题的最佳已知结果一致。
• 该框架可自然扩展至顶点和边连通性问题，且具有相同的渐近效率。
• 该方法表明，离线处理可实现 3-连通性的最优性能，此前尚未达成。