[论文解读] Oka properties of complements of holomorphically convex sets

Yuta Kusakabe|arXiv (Cornell University)|May 17, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文证明了在具有密度性质的 Stein 流形中，紧致全纯凸集的补集是 Oka 流形，从而解决了 Oka 理论中一个长期悬而未决的问题。关键结果表明，$\mathbb{C}^n$（$n>1$）中紧致多项式凸集的补集是 Oka 流形，提供了新的非椭圆 Oka 流形，并以否定方式回答了 Gromov 的问题。

ABSTRACT

Our main theorem states that the complement of a compact holomorphically convex set in a Stein manifold with the density property is an Oka manifold. This gives a positive answer to the well-known long-standing problem in Oka theory whether the complement of a compact polynomially convex set in $\mathbb{C}^{n}$ $(n>1)$ is Oka. Furthermore, we obtain new examples of nonelliptic Oka manifolds which negatively answer Gromov's question. The relative version of the main theorem is also proved. As an application, we show that the complement $\mathbb{C}^{n}\setminus\mathbb{R}^{k}$ of a totally real affine subspace is Oka if $n>1$ and $(n,k) eq(2,1),(2,2),(3,3)$.

研究动机与目标

• 解决关于 $\mathbb{C}^n$（$n>1$）中紧致多项式凸集补集是否为 Oka 流形的开放问题。
• 提供新的非椭圆 Oka 流形例子，从而以否定方式回答 Gromov 关于 Oka 性质是否蕴含椭圆性的疑问。
• 为全纯映射在紧致凸集上具有指定行为的情形，建立主定理的相对版本。
• 将主结果应用于特定几何情形，如全实仿射子空间的补集和闭球的并集。
• 探讨具有密度性质的 Stein 流形中，图补集和配置空间上的投影的 Oka 性质。

提出的方法

• 利用 Stein 流形的密度性质，即 $\mathbb{C}$-完备全纯向量场的李代数在所有全纯向量场的李代数中是稠密的。
• 应用 Andersén–Lempert 理论，构造全纯自同构，将紧致凸集上的连续映射变形为全纯映射。
• 通过从 Stein 流形到 Oka 流形的全纯映射的同伦提升，应用相对 Oka 原理，确保连续截面的逼近与形变。
• 构造某些补集（如格点排列球体的补集）的万有覆盖，将 Oka 性质从具有密度性质的基空间转移过来。
• 使用指数映射 $\pi: \mathbb{C} \times \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^{n-1}$，将 $\mathbb{C}^n$ 中的紧致凸集提升到 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^{n-1}$，其中密度性质确保补集是 Oka 流形。
• 将 Oka 性质应用于具有密度性质的全纯子丛及有限个全纯截面，证明其补集满足 Oka 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^n$（$n>1$）中，紧致多项式凸集的补集是否为 Oka 流形？
• RQ2 能否在具有密度性质的 Stein 流形中，为紧致全纯凸集的补集建立 Oka 性质？
• RQ3 是否存在非椭圆的 Oka 流形，从而以否定方式回答 Gromov 关于 Oka 性质是否蕴含椭圆性的疑问？
• RQ4 当 $n>1$ 且 $(n,k) \neq (2,1),(2,2),(3,3)$ 时，$\mathbb{C}^n$ 中全实仿射子空间 $\mathbb{R}^k$ 的补集是否具有 Oka 性质？
• RQ5 当 $f$ 不是全纯函数时，能否对 $\mathbb{D} \times \mathbb{C}^n$ 中图 $\Gamma_f \subset \mathbb{D} \times \mathbb{C}^n$ 的补集上的投影进行 Oka 性质的刻画？

主要发现

• 在具有密度性质的 Stein 流形 $Y$ 中，任意紧致 $\mathcal{O}(Y)$-凸集的补集是 Oka 流形。
• 当 $n > 1$ 时，对任意紧致多项式凸集 $K \subset \mathbb{C}^n$，其补集 $\mathbb{C}^n \setminus K$ 是 Oka 流形，从而解决了长期悬而未决的开放问题。
• 当 $n > 1$ 且 $(n,k) \neq (2,1),(2,2),(3,3)$ 时，$\mathbb{C}^n \setminus \mathbb{R}^k$ 是 Oka 流形，提供了移除实子空间后的新 Oka 流形例子。
• 对任意 $n > 1$ 和 $0 < \varepsilon < 1/2$，补集 $\mathbb{C}^n \setminus \bigcup_{p \in \mathbb{Z} \times \{0\}^{n-1}} \overline{\mathbb{B}^n(p,\varepsilon)}$ 是 Oka 流形，该结果通过基于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^{n-1}$ 的万有覆盖构造获得。
• 对任意具有密度性质的 Stein 流形 $Y$ 和任意 $n \in \mathbb{N}$，投影 $F(Y,n+1) \to F(Y,n)$ 满足 Oka 性质，将 Oka 性质推广至配置空间。
• 存在非全纯的实解析映射 $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}^n$（$n > 1$），例如 $f(z) = (\bar{z}, 0, \ldots, 0)$，使得投影 $(\mathbb{D} \times \mathbb{C}^n) \setminus \Gamma_f \to \mathbb{D}$ 满足 Oka 性质，表明该性质并不要求映射为全纯。