[论文解读] Okounkov bodies and the K\"ahler geometry of projective manifolds

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文通过Okounkov体构造了ℂⁿ中具有环面不变性的域到射影流形的凯勒嵌入，表明此类域上的标准欧几里得凯勒形式可延拓为某个正或大线丛的典范类中的凯勒形式。关键结果是，该域的体积可任意精确地逼近流形的凯勒体积，通过时刻映射逼近，使得椭球体及其他域能完美契合流形的几何结构。

ABSTRACT

Given a projective manifold $X$ equipped with an ample line bundle $L$, we show how to embed certain torus-invariant domains $D \subseteq\mathbb{C}^n$ into $X$ so that the Euclidean K\"ahler form on $D$ extends to a K\"ahler form on X lying in the first Chern class of $L$. This is done using Okounkov bodies $\Delta(L)$, and the image of $D$ under the standard moment map will approximate $\Delta(L)$. This means that the volume of $D$ can be made to approximate the K\"ahler volume of $X$ arbitrarily well. As a special case we can let $D$ be an ellipsoid. We also have similar results when $L$ is just big.

研究动机与目标

• 建立Okounkov体与射影流形上凯勒几何之间的几何桥梁。
• 证明在ℂⁿ中具有标准凯勒形式的环面不变域可全纯嵌入射影流形X，使得拉回形式扩展为c₁(L)中的凯勒形式。
• 证明此类域的体积可任意接近地逼近X的凯勒体积，当体积匹配时实现完美契合。
• 通过使用具有解析奇点的凯勒电流，将构造推广至大线丛。
• 通过阐明Seshadri常数的作用，表明椭球体而非球体可在任意点实现完美契合。

提出的方法

• 将Okounkov域D(L) ⊆ ℂⁿ定义为环面不变域，其时刻映射像满足∆(L)° ⊆ µ(D(L)) ⊆ ∆(L)，其中∆(L)为Okounkov体。
• 通过合适的权向量γ ∈ (ℕ>0)ⁿ对H⁰(X, kL)进行环面退化，构造嵌入族f_k: X_{A(kL)} → X。
• 对严格强拟凸函数φ应用最大正则化构造，生成光滑且严格强拟凸的函数φ′，其曲率形式dd^cφ′在X上给出凯勒形式。
• 证明当k足够大时，通过缩放和嵌入f(z) = f′(√k z)，标准凯勒形式ω_st在D(L)上的拉回可扩展为c₁(L)中的凯勒形式。
• 利用vol(D(L)) = vol(∆(L)) = (1/n!) vol(L)确保体积匹配。
• 通过在c₁(L)中用具有解析奇点的凯勒电流替代凯勒形式，将结果推广至大线丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将配备标准凯勒形式ω_st的域D ⊆ ℂⁿ全纯嵌入射影流形X，使得ω_st的拉回为c₁(L)中的凯勒形式？
• RQ2 能否使此类域D的体积任意接近地逼近X的凯勒体积，实现完美匹配？
• RQ3 是否存在一个典范域（如椭球体），当L非常ample时，可在任意点p ∈ X处完美契合于X？
• RQ4 Seshadri常数ǫ(X, L, p)与以p为中心、能嵌入X的凯勒结构中最大球体的半径有何关系？
• RQ5 该构造能否通过使用凯勒电流而非凯勒形式，推广至大线丛？

主要发现

• 配备标准凯勒形式ω_st的Okounkov域D(L) ⊆ ℂⁿ可完美契合于(X, L)，即∫_{D(L)} ω_st^n = ∫_X c₁(L)^n。
• 可选择嵌入f: U → X，使得f⁻¹(X_i) = {z₁ = ... = z_i = 0} ∩ U，使环面作用与旗结构对齐。
• 当L非常ample时，Okounkov域D(L)为椭球体E(1, ..., 1, (Lⁿ)⁻¹)，且(E(1, ..., 1, (Lⁿ)⁻¹), ω_st)可完美契合于(X, L)，嵌入中心可在X中任意点p处。
• Seshadri常数ǫ(X, L, p)等于满足球体(B_r, ω_st)能以p为中心嵌入(X, L)的r的上确界，但该值严格小于最大椭球体的尺寸。
• 对于大线丛，结果通过使用具有解析奇点的凯勒电流得以推广：(D(L), ω_st)在电流延拓的意义下可完美契合于(X, L)。
• 通过最大正则化与环面退化构造，嵌入域的时刻映射像可任意精确地逼近Okounkov体∆(L)。