[论文解读] Okounkov bodies associated to pseudoeffective divisors II

Sung Rak Choi, Jinhyung Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文证明了具有双有理良好Zariski分解的伪有效 $\mathbb{Q}$-除子的赋值型与极限Okounkov体，在某些可接受旗下为有理多面体。该工作将Anderson-Küronya-Lozovanu对大除子的结果扩展至伪有效除子，通过Okounkov体几何刻画Nakayama子簇与正体积子簇，并在Zariski分解假设下证明了有理多面体性，即使截面环非有限生成亦成立。

ABSTRACT

We first prove some basic properties of Okounkov bodies, and give a characterization of Nakayama and positive volume subvarieties of a pseudoeffective divisor in terms of Okounkov bodies. Next, we show that each valuative and limiting Okounkov bodies of a pseudoeffective divisor which admits the birational good Zariski decomposition is a rational polytope with respect to some admissible flag. This is an extension of the result of Anderson-Küronya-Lozovanu about the rational polyhedrality of Okounkov bodies of big divisors with finitely generated section rings.

研究动机与目标

• 通过赋值型与极限Okounkov体，刻画伪有效除子的Nakayama子簇与正体积子簇。
• 将Anderson-Küronya-Lozovanu关于大除子的有理多面体性结果，扩展至伪有效除子。
• 证明双有理良好Zariski分解的存在性，可推出赋值型与极限Okounkov体的有理多面体结构。
• 提供一种不依赖截面环有限生成性的有理多面体性的几何判别准则。
• 通过Mori梦想空间上的例子，证明即使在截面环非有限生成时，有理多面体性仍可出现。

提出的方法

• 利用赋值型与极限Okounkov体，通过可接受旗编码伪有效除子的渐近不变量。
• 应用双有理良好Zariski分解理论，将极限Okounkov体的研究归约为分解中的非负部分。
• 通过在Zariski分解全局定义的双有理模型上，取线性系统的一般成员相交，构造可接受旗。
• 利用Zariski分解中正部分 $P$ 在正体积子簇上为非负且大这一事实，应用关于多面体Okounkov体的已知结果。
• 利用体积函数的连续性与半连续性，将极限Okounkov体与子簇上的标准Okounkov体联系起来。
• 应用Anderson-Küronya-Lozovanu的结果：若大除子的截面环有限生成，则其Okounkov体为有理多面体；并通过归约为非负部分，将该结果推广至极限情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，伪有效除子的赋值型Okounkov体为有理多面体？
• RQ2 如何通过Okounkov体几何刻画Nakayama子簇与正体积子簇？
• RQ3 双有理良好Zariski分解的存在性是否蕴含极限Okounkov体的有理多面体结构？
• RQ4 当截面环非有限生成时，伪有效情形下是否仍可出现有理多面体性？
• RQ5 极限Okounkov体的维数与支撑集与除子的数值维数之间有何关系？

主要发现

• 若 $D$ 为具有双有理良好Zariski分解的伪有效 $\mathbb{Q}$-除子，且 $Y_{\bullet}$ 为适当的可接受旗，则赋值型Okounkov体 $\triangle^{\text{val}}_{Y_{\bullet}}(D)$ 为有理多面体。
• 在相同假设下，极限Okounkov体 $\triangle^{\text{lim}}_{Y_{\bullet}}(D)$ 为维数 $\nu_{\nu}(D)$ 的有理单纯形，位于 $\mathbb{R}^{\nu_{\nu}(D)} \times \mathbb{R}^{n-\nu_{\nu}(D)}_{\text{zero}}$ 中。
• 可接受旗 $Y_{\bullet}$ 包含 $D$ 的Nakayama子簇，当且仅当 $\triangle^{\text{val}}_{Y_{\bullet}}(D) \not\to \mathbb{R}^{n-\nu(D)} \times \mathbb{R}^{\nu(D)}_{\text{zero}}$。
• 可接受旗 $Y_{\bullet}$ 包含 $D$ 的正体积子簇，当且仅当 $\triangle^{\text{lim}}_{Y_{\bullet}}(D)$ 位于 $\mathbb{R}^{n-\nu_{\nu}(D)}_{\text{zero}} \times \mathbb{R}^{\nu_{\nu}(D)}$ 中且维数为 $\nu_{\nu}(D)$。
• 在适当的旗条件下，$D$ 的极限Okounkov体同构于非负部分 $P$ 在正体积子簇 $V$ 上限制的标准化Okounkov体。
• 存在截面环非有限生成的伪有效 $\mathbb{Q}$-除子，其Okounkov体仍为有理多面体，表明有限生成性并非有理多面体性的必要条件。