[论文解读] Okounkov's BC-type interpolation Macdonald polynomials and their q=1 limit

Tom H. Koornwinder|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文引入并研究了此前文献中被忽视的$BC_n$-型插值杰克多项式，通过$q$-类比的极限推导出其组合与二项式公式。建立了两变量库恩瓦尔德多项式的新型显式公式，并以杰克多项式表示$BC_n$-型雅可比多项式系数，提出了一种新颖的组合表达式，与麦克唐纳原始公式不同。

ABSTRACT

This paper surveys eight classes of polynomials associated with $A$-type and $BC$-type root systems: Jack, Jacobi, Macdonald and Koornwinder polynomials and interpolation (or shifted) Jack and Macdonald polynomials and their $BC$-type extensions. Among these the $BC$-type interpolation Jack polynomials were probably unobserved until now. Much emphasis is put on combinatorial formulas and binomial formulas for (most of) these polynomials. Possibly new results derived from these formulas are a limit from Koornwinder to Macdonald polynomials, an explicit formula for Koornwinder polynomials in two variables, and a combinatorial expression for the coefficients of the expansion of $BC$-type Jacobi polynomials in terms of Jack polynomials which is different from Macdonald's combinatorial expression. For these last coefficients in the two-variable case the explicit expression in Koornwinder & Sprinkhuizen (1978) is now obtained in a quite different way.

研究动机与目标

• 定义并系统研究$BC_n$-型插值杰克多项式，这是一类此前文献中未被观察到的多项式。
• 通过已知$q$-多项式理论的极限过程，推导$BC_n$-型插值麦克唐纳与杰克多项式的组合与二项式公式。
• 利用插值多项式技术，为两变量库恩瓦尔德多项式提供一种新型显式公式。
• 提出$BC_n$-型雅可比多项式展开系数在杰克多项式下的新型组合表达式，与麦克唐纳的公式不同。
• 通过基于二项式与插值多项式的新型统一框架，重新推导并恢复早期结果（如两变量$BC_2$-型雅可比多项式公式）。

提出的方法

• 将$BC_n$-型插值杰克多项式作为$BC_n$-型插值麦克唐纳多项式在$q \to 1$极限下得到。
• 应用已知的插值麦克唐纳多项式组合公式，推导出$q=1$情形下的相应公式。
• 利用涉及插值多项式的二项式公式，将$BC_n$-型雅可比多项式表示为杰克多项式的线性组合。
• 采用超几何级数表示（如$_4\phi_3$与$_4F_3$）来表达插值多项式的归一化与取值。
• 将一般公式特化至两变量情形（$n=2$），推导出库恩瓦尔德多项式与$BC_2$-型雅可比多项式的显式表达式。
• 依赖从$q$-超几何函数到普通超几何函数的极限变换，将$q$-多项式与它们的$q=1$对应形式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么是$BC_n$-型插值杰克多项式的结构与定义？为何此前被忽视？
• RQ2 能否为$BC_n$-型雅可比多项式在杰克多项式展开中的系数推导出一种新型组合公式，且与麦克唐纳的表达式不同？
• RQ3 能否利用插值多项式技术，为两变量库恩瓦尔德多项式推导出显式公式？
• RQ4 插值多项式的二项式公式如何导出$q=1$情形下的新极限公式与证明？
• RQ5 能否通过基于插值与二项式公式的新型系统框架，重新推导出已知的两变量$BC_2$-型雅可比多项式公式？

主要发现

• 本文识别并定义了$BC_n$-型插值杰克多项式为一类新多项式，其作为$BC_n$-型插值麦克唐纳多项式在$q \to 1$极限下得到。
• 为$BC_n$-型雅可比多项式在杰克多项式展开中的系数推导出一种新型组合公式，其与麦克唐纳的表达式不同。
• 通过二项式公式与极限变换，获得了两变量库恩瓦尔德多项式的显式公式，适用于$n=2$。
• 在两变量情形下，明确计算了$BC_n$-型雅可比多项式的二项式公式，从而以新方法重新推导出库恩瓦尔德与斯普林克胡伊森（1978）已获得的$BC_2$-型雅可比多项式公式。
• 从二项式公式中导出了一个新极限公式（8.4）与一个新证明（9.2）的现有极限公式，展示了插值框架的实用性。
• 通过与原始方法完全不同的途径，重新获得了两变量$BC_2$-型雅可比多项式的显式表达式，证实了该方法的稳健性与新颖性。