[论文解读] Old and new about treeability and the Haagerup property for measured groupoids

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文建立了可数测度群胚的Haagerup性质与相应冯诺依曼代数的相对Haagerup性质之间的等价性，证明了在群胚层面可直接由树状性推出Haagerup性质。该研究扩展了Jolissaint对保测等价关系的Haagerup性质的研究工作，并提供了一个统一框架，将群胚结构、算子代数与诸如可约性及Kazhdan性质(T)等几何性质联系起来。

ABSTRACT

This is mainly an expository text on the Haagerup property for countable groupoids equipped with a quasi-invariant measure, aiming to complete an article of Jolissaint devoted to the study of this property for probability measure preserving countable equivalence relations. We show that our definition is equivalent to the one given by Ueda in terms of the associated inclusion of von Neumann algebras. It makes obvious the fact that treeability implies the Haagerup property for such groupoids. For the sake of completeness, we also describe, or recall, the connections with amenability and Kazhdan property (T).

研究动机与目标

• 将Jolissaint关于保测等价关系的Haagerup性质研究工作，推广至一般可数测度群胚。
• 建立一个内在的、基于群胚层面的Haagerup性质定义，该定义与通过冯诺依曼代数的相对Haagerup性质定义的算子代数定义等价。
• 在群胚框架内直接证明树状性蕴含Haagerup性质，而无需依赖算子代数技术。
• 阐明在测度群胚背景下，Haagerup性质、可约性与Kazhdan性质(T)之间的关系。
• 通过强相对可约性与Popa框架，填补文献空白，证明可约测度群胚满足Haagerup性质。

提出的方法

• 引入并形式化了具有拟不变测度的可数测度群胚的概念，通过包含关系 $ L^∞(X,\mu) \subset L(G,\mu) $ 强调其冯诺依曼代数结构。
• 将Tomita-Takesaki理论应用于群胚的冯诺依曼代数，将Hahn的结果推广至测度群胚设定。
• 一般地分析包含关系 $ A \subset M $ 的Jones基本构造，特别是针对 $ L^\infty(X,\mu) \subset L(G,\mu) $ 的情形，使用条件期望。
• 建立群胚上正定函数与冯诺依曼代数上完全正映射之间的对应关系，推广了群的情形结果。
• 在群胚层面定义树状性为对纤维的可测树结构赋值，并通过图丛构造方法构造一个正定函数。
• 利用存在一个 $ G $-不变的可测希尔伯特空间场及等距表示，构造出几乎不变向量的网，从而证明Haagerup性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖算子代数表述的前提下，内在地定义可数测度群胚的Haagerup性质？
• RQ2 测度群胚的树状性是否足以推出Haagerup性质？这一结论能否在群胚层面直接证明？
• RQ3 在测度群胚背景下，可约性与Haagerup性质之间的确切关系是什么？
• RQ4 在遍历测度群胚中，Haagerup性质如何与Kazhdan性质(T)相互作用？
• RQ5 冯诺依曼代数 $ L(G,\mu) $ 相对于 $ L^\infty(X,\mu) $ 的相对Haagerup性质能否完全通过群胚结构来刻画？

主要发现

• 可数测度群胚 $ (G,\mu) $ 的Haagerup性质，与通过算子代数定义的其冯诺依曼代数 $ L(G,\mu) $ 相对于 $ L^\infty(X,\mu) $ 的相对Haagerup性质等价。
• 测度群胚的树状性蕴含Haagerup性质，且该蕴含关系通过可测图丛构造方法在群胚层面直接证明，无需经过算子代数。
• 测度群胚的可约性蕴含Haagerup性质，但此结论不能由标准相对可约性直接得出；相反，需要使用Popa意义下的强相对可约性。
• 在遍历性条件下，Haagerup性质与Kazhdan性质(T)互斥，推广了Jolissaint对群作用的结果。
• 本文通过存在一个 $ G $-不变的正定函数的可测希尔伯特空间场，完整刻画了Haagerup性质，从而将几何与算子代数联系起来。
• 该框架阐明了Jones基本构造与条件期望在研究与群胚相关冯诺依曼代数的相对性质中的作用。