[论文解读] Old and new algorithms for pi

Richard P. Brent|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

History and Theory of Mathematics被引用 3

一句话总结

本文纠正了阿德拉杰教授对布伦特-萨拉明算法计算π的批评中的误解，指出尽管高斯和勒让德奠定了基础，但该算法的高效性依赖于现代计算技术。文章强调，像欧拉、勒让德和高斯这样的前计算机时代数学家不会重视此类π算法，因为它们在缺乏快速乘法和电子计算的情况下不切实际，并指出通过算术-几何平均可以以与计算π相当的效率计算所有初等函数。

ABSTRACT

This is a letter to the editor concerning Semjon Adlaj's article "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", AMS Notices 59, 8 (2012), 1094-1099.

研究动机与目标

• 澄清布伦特-萨拉明算法的历史归属，纠正将其命名为高斯和欧拉的建议。
• 论证该算法的重要性取决于现代计算技术，而非其内在数学优越性。
• 表明前计算机时代的数学家如高斯、勒让德和欧拉不会欣赏此类算法，因为缺乏快速乘法和电子计算技术。
• 证明算术-几何平均可使所有初等函数（不仅π）以与π相当的效率进行计算，仅相差一个常数因子。
• 挑战将π作为单一常数进行计算是具有意义或历史相关性的计算目标这一观点。

提出的方法

• 分析历史文献，包括高斯1809年5月的未发表笔记，以评估高斯是否将其恒等式视为π的算法。
• 基于反正切级数和二分分裂，比较布伦特-萨拉明算法与经典马钦型公式的计算效率。
• 以施耐曼-斯特拉斯堡快速乘法算法为基准，评估现代计算可行性。
• 应用算术-几何平均（AGM）理论，证明所有初等函数（包括π、e^π和π/e）均可以相近的速度计算。
• 通过Google搜索频率评估'高斯-勒让德'和'高斯-欧拉'等术语的相关性，以反对误导性命名。
• 对比19世纪数学的计算背景与现代算法效率，强调技术依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何尽管高斯和欧拉有基础性贡献，布伦特-萨拉明算法仍不适宜以他们的名字命名？
• RQ2 缺乏快速乘法算法如何影响早期π计算方法的实际可行性？
• RQ3 高斯1809年的笔记条目在布伦特-萨拉明算法发展中起到什么作用？高斯本人如何理解它？
• RQ4 为何在历史背景下，欧拉、勒让德和高斯会认为布伦特-萨拉明算法毫无特别之处？
• RQ5 算术-几何平均能否以与计算π相同的效率计算所有初等函数？这对π计算的重要性意味着什么？

主要发现

• 在缺乏现代快速乘法算法（如施耐曼-斯特拉斯堡算法）的情况下，布伦特-萨拉明算法并非计算π的实用方法。
• 当结合二分分裂和快速乘法时，使用反正切级数的马钦型公式在计算效率上仍可与布伦特-萨拉明算法相媲美。
• 高斯1809年的笔记条目很可能涉及椭圆积分的恒等式，而非计算π的算法，因为π仅出现在分母中。
• '高斯-勒让德'一词通常用于数值求积，而非π算法；'高斯-欧拉'在此语境下基本无关。
• 算术-几何平均可使所有初等函数（包括π、e^π和π/e）的计算效率与π相当，仅相差一个常数因子。
• 将计算π作为单一常数视为有意义目标的观点或有争议，因为相同的计算能力可产生更广泛的常数类。