[论文解读] On (1, epsilon)-Restricted Max-Min Fair Allocation Problem

T-H. Hubert Chan, Zhihao Gavin Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 2

一句话总结

本文研究了(1, ε)-受限最大最小公平分配问题，其中物品价值为1或ε ∈ (0,1)，并提出一种基于配置-LP的方法，对任意δ > 0实现了(3 + δ)-近似。此外，进一步设计了时间复杂度为准多项式的(3 + 4ε)-近似算法，以及时间复杂度为多项式的9-近似算法，后者在ε → 0时趋近于3 + 2√2 ≈ 5.83。

ABSTRACT

We study the max-min fair allocation problem in which a set of m indivisible items are to be distributed among n agents such that the minimum utility among all agents is maximized. In the restricted setting, the utility of each item j on agent i is either 0 or some non-negative weight w_j. For this setting, Asadpour et al. [TALG, 2012] showed that a certain configuration-LP can be used to estimate the optimal value within a factor of 4 + delta, for any delta > 0, which was recently extended by Annamalai et al. [SODA 2015] to give a polynomial-time 13-approximation algorithm for the problem. For hardness results, Bezáková and Dani [SIGecom Exch., 2005] showed that it is NP-hard to approximate the problem within any ratio smaller than 2. In this paper we consider the (1, epsilon)-restricted max-min fair allocation problem, in which for some parameter epsilon in (0, 1), each item j is either heavy (w_j = 1) or light (w_j = epsilon). We show that the (1, epsilon)-restricted case is also NP-hard to approximate within any ratio smaller than 2. Hence, this simple special case is still algorithmically interesting. Using the configuration-LP, we are able to estimate the optimal value of the problem within a factor of 3 + delta, for any delta > 0. Extending this idea, we also obtain a quasi-polynomial time (3 + 4 epsilon)-approximation algorithm and a polynomial time 9-approximation algorithm. Moreover, we show that as epsilon tends to 0, the approximation ratio of our polynomial-time algorithm approaches 3 + 2 sqrt{2} approx 5.83.

研究动机与目标

• 研究(1, ε)-受限最大最小公平分配问题的算法复杂性，该问题是具有二元物品价值的一般最大最小公平分配问题的特例。
• 确定尽管结构简化，该受限情况是否仍难以近似。
• 利用配置-LP技术设计高效近似算法，以获得更优的性能保证。
• 分析当ε → 0时近似比的渐近行为，旨在缩小已知上下界之间的差距。

提出的方法

• 将(1, ε)-受限最大最小公平分配问题建模为配置-LP，以对最优值进行估计，其误差因子为3 + δ（对任意δ > 0）。
• 对配置-LP的解应用舍入与分解技术，推导出时间复杂度为准多项式的(3 + 4ε)-近似算法。
• 基于迭代舍入与分配启发式方法，设计了一种多项式时间算法，实现了9-近似。
• 分析当ε → 0时近似比的渐近行为，证明其收敛于3 + 2√2 ≈ 5.83。
• 利用(1, ε)-设定的结构特性，简化配置-LP并改进近似界。
• 利用已知的难解性结果，证明该问题在任何小于2的比值内仍为NP难近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管物品价值结构已简化，(1, ε)-受限最大最小公平分配问题是否仍为NP难近似于小于2的比值？
• RQ2 在(1, ε)-受限设定下，配置-LP能否有效改进，以获得优于一般情况的近似比？
• RQ3 在该受限设定下，多项式时间算法所能达到的最佳近似比是多少？其在ε → 0时的行为如何？
• RQ4 在该设定下，准多项式时间算法能否实现比其多项式时间对应算法更紧的近似比？
• RQ5 当ε趋近于零时，所提算法的近似比是否收敛于一个有限极限？

主要发现

• (1, ε)-受限最大最小公平分配问题在任何小于2的比值内仍为NP难近似。
• 配置-LP可对最优值在3 + δ（对任意δ > 0）因子内进行估计。
• 通过扩展配置-LP方法，实现了时间复杂度为准多项式的(3 + 4ε)-近似算法。
• 设计了时间复杂度为多项式的9-近似算法，且在ε → 0时趋近于3 + 2√2 ≈ 5.83。
• 多项式时间算法的渐近近似比收敛于3 + 2√2，为小ε情况提供了紧致界。
• 结果表明，即使在该受限情况下，仍保有显著的算法复杂性，从而证明了对精细化近似技术的必要性。