[论文解读] On 2-partitionable clutters and the MFMC property

Alejandro Flores-Méndez, Isidoro Gitler+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了2-分割可分解的杂凑集（2-partitionable clutters）作为一类新的超图，并证明其满足最大流最小割（MFMC）性质，从而支持Conforti-Cornuéjols猜想。研究建立了基于边删除的Mengerian杂凑集的刻画，并提出一种构造性算法，用于识别移除后使横贯数减少1的边，从而确认了家族 $ Q_{pq}^F $ 满足MFMC性质。研究结果还表明相关Rees代数的正规性以及集合覆盖多面体的整数性。

ABSTRACT

We introduce 2-partitionable clutters as the simplest case of the class of $k$-partitionable clutters and study some of their combinatorial properties. In particular, we study properties of the rank of the incidence matrix of these clutters and properties of their minors. A well known conjecture of Conforti and Cornuéjols \cite{ConfortiCornuejols,cornu-book} states: That all the clutters with the packing property have the max-flow min-cut property, i.e. are mengerian. Among the general classes of clutters known to verify the conjecture are: balanced clutters (Fulkerson, Hoffman and Oppenheim \cite{FulkersonHoffmanOppenheim}), binary clutters (Seymour \cite{Seymour}) and dyadic clutters (Cornuéjols, Guenin and Margot \cite{CornuejolsGueninMargot}). We find a new infinite family of 2-partitionable clutters, that verifies the conjecture. On the other hand we are interested in studying the normality of the Rees algebra associated to a clutter and possible relations with the Conforti and Cornuéjols conjecture. In fact this conjecture is equivalent to an algebraic statement about the normality of the Rees algebra \cite{rocky}.

研究动机与目标

• 研究2-分割可分解杂凑集作为 $k$-分割可分解杂凑集子类的组合与代数性质。
• 针对新一类无限杂凑集 $ Q_{pq}^F $，验证Conforti-Cornuéjols猜想——即所有具有打包性质的杂凑集都是Mengerian——的成立性。
• 基于边删除构造Mengerian杂凑集的判定准则，使得横贯数减少1。
• 探讨MFMC性质与杂凑集边理想相关Rees代数正规性之间的联系。

提出的方法

• 引入2-分割可分解杂凑集，并推导其关联矩阵的秩与子式的性质。
• 应用定理5.2，该定理由边 $ e $ 满足 $ \tau^\omega(H) = \tau^{\omega-e}(H) + 1 $ 对所有 $ \omega > 0 $ 成立，从而刻画Mengerian杂凑集。
• 设计伪代码算法，通过归纳法识别满足 $ \tau^{\omega-e}(H) = \tau^\omega(H) - 1 $ 的边 $ e $。
• 利用由集合 $ P, Q, R $ 定义的超图 $ Q_{pq}^F $，在各种权重配置下证明此类边的存在性。
• 应用代数结果，将MFMC性质与Rees代数 $ R[It] $ 的正规性联系起来，证明 $ R[\widetilde{I}t] $ 对 $ \widetilde{I} = I(Q_{pq}^F) $ 是正规的。
• 证明集合覆盖多面体 $ Q(A(Q_{pq}^F)) $ 是整数的，从而确认 $ Q_{pq}^F $ 满足MFMC性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有打包性质的杂凑集是否都存在一条边 $ e $，使得对所有 $ \omega > 0 $，有 $ \tau^\omega(H) = \tau^{\omega-e}(H) + 1 $？
• RQ2 由2-分割可分解杂凑集定义的超图 $ Q_{pq}^F $ 是否为Mengerian？
• RQ3 Conforti-Cornuéjols猜想是否可在2-分割可分解杂凑集类中得到验证？
• RQ4 与 $ Q_{pq}^F $ 相关的Rees代数是否正规？其与MFMC性质有何关联？
• RQ5 能否设计一种构造性算法，用于识别理想超图中使横贯数减少1的边？

主要发现

• 超图族 $ Q_{pq}^F $ 满足打包性质，并通过定理5.2被证明为Mengerian。
• 提供了一种显式算法，该算法在 $ \tau^\omega $ 次迭代内，构造出 $ \tau^\omega $ 条边，其总权重不超过 $ \omega $，从而验证MFMC性质。
• 对所有 $ \omega > 0 $，存在一条边 $ e \in E(Q_{pq}^F) $，使得 $ \tau^\omega(H) = \tau^{\omega-e}(H) + 1 $，从而确认定理5.2中的判定条件。
• 与 $ Q_{pq}^F $ 的边理想相关的Rees代数 $ R[\widetilde{I}t] $ 是正规的，这与MFMC性质等价。
• 集合覆盖多面体 $ Q(A(Q_{pq}^F)) $ 是整数的，从而确认了多面体的整数性，也即MFMC性质。
• 群 $ \mathbb{Z}^{n+1}/((v_1,1),\ldots,(v_q,1)) $ 对 $ Q_{pq}^F $ 是自由的，这支持了2-分割可分解情形下的猜想2.14。