[论文解读] On $[A,A]/[A,[A,A]]$ and on a $W_n$-action on the consecutive commutators of free associative algebra

Boris Feigin, Boris Shoikhet|ArXiv.org|Oct 12, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文研究了自由结合代数 $A_n$ 在 $n$ 个生成元下的商代数 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 的结构，证明其同构于 $\mathbb{C}^n$ 上所有闭的偶数次微分形式的直和。此外，本文进一步证明了 $A_n$ 的下中央列的关联分次李代数在 $W_n$（即 $\mathbb{C}^n$ 上多项式向量场的李代数）作用下具有自然作用，且其模中心后的商代数也保持此 $W_n$-作用。主要贡献在于显式计算出空间 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 同构于 $\Omega^{2}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \Omega^{4}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \cdots$，并识别出连续换位子空间上的 $W_n$-模结构。

ABSTRACT

We consider the lower central filtration of the free associative algebra $A_n$ with $n$ generators as a Lie algebra. We consider the associated graded Lie algebra. It is shown that this Lie algebra has a huge center which belongs to the cyclic words, and on the quotient Lie algebra by the center there acts the Lie algebra $W_n$ of polynomial vector fields on $\mathbb{C}^n$. We compute the space $[A_n,A_n]/[A_n,[A_n,A_n]]$ and show that it is isomorphic to the space $Ω^2_{closed}(\mathbb{C}^n) \oplus Ω^4_{closed}(\mathbb{C}^n) \oplus Ω^6_{closed}(\mathbb{C}^n) \oplus ...$.

研究动机与目标

• 计算自由结合代数 $A_n$（具有 $n$ 个生成元）的商空间 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$。
• 研究 $A_n$ 作为李代数的下中央列，并分析其关联分次李代数。
• 识别 $\mathbb{C}^n$ 上多项式向量场的李代数 $W_n$ 在关联分次李代数模其中心后的商代数上的自然作用。
• 建立 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 与 $\mathbb{C}^n$ 上闭的偶数次微分形式的直和之间的同构。
• 证明连续换位子空间 $A_{n,k} = [A_n, \ldots, A_n]$（$k$ 重）在 $k$ 较小且 $n=2,3$ 时具有 $W_n$-模结构。

提出的方法

• 利用对偶格拉斯曼代数对多项式代数 $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ 构造自由解析，以建模高阶导出函子。
• 在德拉姆复形 $\Omega^\bullet = S^\bullet(V) \otimes \Lambda^\bullet(V)$ 上构造一个 $\mathbb{Z}_2$-分次的泊松代数结构，其括号为 $[\omega_1, \omega_2] = (-1)^{\deg \omega_1} \cdot 2d\omega_1 \wedge d\omega_2$，其中 $V$ 是 $A_n$ 生成元的对偶空间。
• 通过乘积 $\omega_1 * \omega_2 = \omega_1 \wedge \omega_2 + (-1)^{\deg \omega_1} d\omega_1 \wedge d\omega_2$ 对该泊松代数进行量子化，得到代数 $\Omega(V)_*$。
• 将商代数 $B = A_n / A_n[A_n, [A_n, A_n]]A_n$ 识别为量子化代数的偶部 $\Omega^{\text{even}}(V)_*$。
• 证明映射 $\theta: [A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]] \to [\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ 是同构，且 $[\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ 与正次数的闭偶数次微分形式空间一致。
• 通过匹配特征多项式与从 $\mathfrak{gl}_n$-表示诱导出的共诱导 $W_n$-模的特征，验证 $k=3,4,5$ 且 $n=2,3$ 时 $W_n$-模结构在 $A_{n,k}$ 上的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由结合代数 $A_n$（具有 $n$ 个生成元）的商代数 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 的结构是什么？
• RQ2 $A_n$ 的下中央列的关联分次李代数是否具有 $\mathbb{C}^n$ 上多项式向量场的李代数 $W_n$ 的自然作用？
• RQ3 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 是否同构于 $\mathbb{C}^n$ 上闭的偶数次微分形式的直和？
• RQ4 连续换位子空间 $A_{n,k}$ 是否可赋予 $W_n$-模结构？若可，该结构如何与已知的 $W_n$-模特征相匹配？
• RQ5 $W_n$-模 $A_{n,k}$ 的特征是否与从 $\mathfrak{gl}_n$-不可约表示诱导出的共诱导模的特征一致？

主要发现

• 商代数 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 同构于 $\Omega^{2}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \Omega^{4}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \Omega^{6}_{\text{closed}}(\mathbb{C}^n) \oplus \cdots$，显式计算了函子 $A \mapsto A/[A, [A, A]]$ 的高阶阿贝尔化空间。
• 代数 $B = A_n / A_n[A_n, [A_n, A_n]]A_n$ 同构于 $\Omega^{\text{even}}(V)_*$，即量子化德拉姆代数的偶部，且在生成元上诱导恒等映射。
• 映射 $\theta: [A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]] \to [\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ 是同构，且 $[\Omega^{\text{even}}(V)_*, \Omega^{\text{even}}(V)_*]$ 与正次数的闭偶数次微分形式空间一致。
• 空间 $[A_n, A_n]/[A_n, [A_n, A_n]]$ 满足恒等式 $[A_n, [A_n, A_n]] = [A_n, A_n] \cap (A_n \cdot [A_n, [A_n, A_n]] \cdot A_n)$，确认了商构造的一致性。
• 当 $n=2$ 时，$\dim A_{2,3}^\ell = 2(\ell - 2)$ 对于 $3 \leq \ell \leq 9$，与从二维 $\mathfrak{gl}_2$-模诱导出的 $W_2$-模特征一致。
• 当 $n=3$ 时，$A_{3,3}^\ell$ 的特征与从对应于 8 维不可约 $\mathfrak{gl}_3$-模（其杨图对应）的 $W_3$-模一致，且 $A_{3,4}^\ell$ 的特征与两个此类模的直和一致，其特征差值再次对应于更高阶的共诱导模。