[论文解读] On a canonical lattice structure on the effect algebra of a von Neumann algebra

Hans F. de Groote|ArXiv.org|Oct 6, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 36

一句话总结

本文引入了冯诺依曼代数中自伴元的谱序 ≤ₛ，该序推广了通常的序，并使效应代数成为一个有界完全格。关键结果是，范围投影映射 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) 是格同态当且仅当冯诺依曼代数 ℛ 是有限的，从而在算子代数的格结构与有限性之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

Let R be a von Neumann algebra acting on a Hilbert space H and let R_sa be the set of selfadjoint elements of R. It is well known that R_sa is a lattice with respect to the usual partial order ≤ if and only if R is abelian. We define and study a new partial order on R_sa, the spectral order ≤_s, which extends ≤ on projections, is coarser than the usual one, but agrees with it on abelian subalgebras, and turns R_sa into a boundedly complete lattice. The effect algebra E(R) := {A | 0 ≤ A ≤ I} is then a complete lattice and we show that the mapping A --> R(A), where R(A) denotes the range projection of A, is a homomorphism from the lattice E(R) onto the projection lattice P(R) of A if and only if R is a finite von Neumann algebra.

研究动机与目标

• 定义冯诺依曼代数中自伴元上的新偏序，即谱序 ≤ₛ，该序扩展了投影上的通常序，并且比标准序更粗糙。
• 证明在谱序下，自伴元集合成为一个有界完全格，且效应代数成为一个完全格。
• 研究在谱序下，范围投影映射 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) 何时保持交与并运算。
• 刻画范围投影映射为格同态的冯诺依曼代数类，确定有限性为必要且充分条件。

提出的方法

• 使用谱投影在 ℛ_sa 上定义谱序 ≤ₛ：A ≤ₛ B 当且仅当对所有 λ ∈ ℝ，有 E^A_λ ≤ E^B_λ。
• 利用算子 A ∈ ℛ_sa 的谱族 (E^A_λ) 定义谱序，确保其在交换子代数和投影上与通常序一致。
• 通过证明每个有界族在 ≤ₛ 下都有上确界和下确界，证明 (ℛ_sa, ≤ₛ) 是一个有界完全格。
• 通过上确界与下确界的普遍性质，证明在 ≤ₛ 下，效应代数 ℰ(ℛ) = {A ∈ ℛ_sa | 0 ≤ A ≤ I} 是一个完全格。
• 分析范围投影映射 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ)，其中 R(A) 是 A 的值域闭包上的投影。
• 使用 ℳ ⊗ ℛ 中的张量积构造与谱族，当 ℛ 非有限时构造反例，证明此时 R 在 ≤ₛ 下不保持交运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 冯诺依曼代数自伴元上的谱序 ≤ₛ 在何种条件下使效应代数成为一个完全格？
• RQ2 范围投影映射 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) 在谱序下何时是格同态？
• RQ3 谱序与 ℛ_sa 上的通常序有何关系？在何种情况下二者一致？
• RQ4 有限性在谱序下范围投影映射的格论行为中起什么作用？
• RQ5 谱序是否允许效应代数中某种形式的完全分配性或对偶性，特别是与布劳威尔补元的关系？

主要发现

• 谱序 ≤ₛ 使冯诺依曼代数 ℛ 的自伴元 ℛ_sa 成为一个有界完全格，且效应代数 ℰ(ℛ) 成为一个完全格。
• 谱序在交换子代数和投影上与通常序一致，但一般情况下严格更粗糙。
• 范围投影映射 R: ℰ(ℛ) → ℒ(ℛ) 是格同态（保持 ∧ₛ 与 ∨ₛ）当且仅当 ℛ 是有限冯诺依曼代数。
• 当 ℛ 非有限时，存在 A, P ∈ ℰ(ℛ)，使得 R(A ∧ₛ P) < R(A) ∧ R(P)，表明 R 不保持交运算。
• 对所有 A, B ∈ ℰ(ℛ)，第二条德摩根律 (A ∧ₛ B)∼ = A∼ ∨ B∼ 成立当且仅当 ℛ 是有限的，这与 R 是格同态等价。
• 谱序通过谱投影定义，并满足上确界与下确界的普遍性质，从而保证在有界族下具有完备性。