[论文解读] On a certain class of $g$-functions for subshifts

Wolfgang Krieger|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Cellular Automata and Applications参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文为具有性质 (D) 的子移系统引入了残余定义的连续 g-函数，建立了此类 g-函数与 Shannon 图中残余收缩顶点集之间的一一对应关系。主要贡献在于通过残余收缩测度 λ-图系统对具有性质 (D) 的子移系统进行了表征，将 g-函数理论扩展至非有限型子移系统。

ABSTRACT

A property $(D)$ of subshifts was defined in: Wolfgang Krieger, On $g$-functions for subshifts, IMS Lecture Notes- Monograph Series, Vol. 48, Dynamics & Stochastics (2006) 306 - 316, arXiv:math.DS/0608259. With a view towards a theory of $g$-fnctions beyond the case of finte type subshifts partially defined continuous $g$-functions of property $(D)$ subshifts are studied.

研究动机与目标

• 通过引入残余定义的连续 g-函数，将 g-函数理论扩展至非有限型子移系统。
• 通过新结构性质 (D)，表征可接受此类 g-函数的子移系统。
• 在 Shannon 图中建立残余定义 g-函数与残余收缩顶点集之间的一一对应关系。
• 证明性质 (D) 与存在残余收缩测度 λ-图系统表示等价。
• 通过残余收缩结构，为残余定义 g-函数的强移等价奠定基础。

提出的方法

• 在子移系统 X 上引入残余定义 g-函数 g 的概念，其中定义域 D⁻(g) 是 X₍₋∞,₀₎ 中的稠密 Gδ 子集。
• 定义子移系统的性质 (D)：对每个可接受字 bσ，存在字 a ∈ Γ⁻(b)，使得 σ ∈ ω⁺₁(ab)。
• 构建从残余定义 g-函数到 Σ 上概率测度空间中残余收缩顶点集 M(g) 的映射。
• 通过与残余收缩顶点集的双射关系，证明子移系统存在残余定义 g-函数当且仅当其具有性质 (D)。
• 利用 D⁻(g) 的连续性与稠密性，定义 g-测度，并证明此类测度在 E(g) 上有紧支集，其中 E(g) 是子移系统中的稠密 Gδ 集。
• 应用测度 λ-图系统来表示残余收缩结构，证明其可生成 g-函数，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下子移系统可接受残余定义的连续 g-函数？
• RQ2 子移系统需满足何种结构条件，以确保此类 g-函数的存在？
• RQ3 如何对残余定义 g-函数进行分类或参数化？
• RQ4 残余定义 g-函数与测度 λ-图系统之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过残余收缩结构将强移等价关系扩展至残余定义 g-函数？

主要发现

• 子移系统可接受残余定义的连续 g-函数当且仅当其满足性质 (D)。
• 残余定义 g-函数的 g-测度集合在子移系统的稠密 Gδ 子集 E(g) 上有支集。
• 残余定义 g-函数与 Shannon 图中残余收缩顶点集之间存在一一对应关系。
• 对任意残余定义 g-函数 g，其关联顶点集 M(g) 为残余收缩集，并可表示子移系统 X。
• 从残余收缩顶点集到 g-函数的映射是可逆的，满足 g_M(g) = g 且 M(g_M) = M。
• 子移系统具有性质 (D) 当且仅当其可由残余收缩测度 λ-图系统表示。