[论文解读] On a certain extension of the Riemann-Liouville fractional derivative operator

Gauhar Rahman, Nisar Kottakkaran Kottakkaran Sooppy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2018

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文通过引入具有两个参数 p 和 q 的扩展 Beta 函数，并进一步利用合流超几何函数 1F1，提出了一种黎曼-刘维尔分数阶导数算子的新扩展。主要贡献在于推导了梅林变换关系，并建立了与扩展超几何函数及阿佩尔函数的联系，从而为特殊函数（如梅特格-莱夫勒函数和福克斯-赖特函数）在新算子下的新积分表示和运算公式提供了支持。

ABSTRACT

The main aim of this present paper is to present a new extension of the fractional derivative operator by using the extension of Beta function recently defined by Shadab et al.[19]. Moreover, we establish some results related to the newly defined modified fractional derivative operator such as Mellin transform and relations to extended hypergeometric and Appell's function via generating functions.

研究动机与目标

• 通过引入具有两个参数 p 和 q 的广义 Beta 函数，开发黎曼-刘维尔分数阶导数算子的新扩展。
• 建立涉及新分数阶导数算子的梅林变换和生成函数的运算公式。
• 探索扩展算子与特殊函数（如扩展超几何函数和阿佩尔函数）之间的联系。
• 通过引入额外参数和特殊函数成分，推广经典分数阶导数的已知结果。
• 为分数阶导数提供一个统一框架，使其在特定参数极限下可退化为经典形式和现有扩展形式。

提出的方法

• 通过包含核 (x−t)^{-μ−1} 和指数因子 exp(−px/t − qx/(x−t)) 的积分变换定义扩展分数阶导数算子，从而推广经典黎曼-刘维尔形式。
• 通过将指数因子替换为两个合流超几何函数 1F1(λ;ρ;−px/t) 和 1F1(λ;ρ;−qx/(x−t)) 的乘积，进一步扩展算子，引入额外的形状参数 λ 和 ρ。
• 利用涉及扩展 Beta 函数 Bp,q(x,y) = ∫₀¹ t^{x−1}(1−t)^{y−1} exp(−p/t − q/(1−t)) dt 的积分表示，推导新算子的梅林变换。
• 论文建立了将扩展分数阶导数与扩展超几何函数 pFq 及阿佩尔函数 F1 相关联的生成函数关系。
• 该方法涉及应用运算微积分技术，包括逐项积分和特殊函数的级数展开。
• 通过证明极限情况（如 p=q=0 或 λ=ρ）可恢复经典和先前已知的扩展分数阶导数算子，验证了该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用双参数 Beta 函数及关联的特殊函数扩展黎曼-刘维尔分数阶导数？
• RQ2 新定义的分数阶导数算子（含参数 p, q, λ, ρ）的梅林变换具有何种性质？
• RQ3 扩展分数阶导数与扩展超几何函数及阿佩尔函数之间有何关系？
• RQ4 新算子能否为广义特殊函数（如梅特格-莱夫勒函数和福克斯-赖 Wright 函数）生成闭式表达式？
• RQ5 当参数退化为经典情况时，扩展算子的极限行为如何？

主要发现

• 扩展分数阶导数算子的梅林变换被推导为函数的梅林变换与涉及扩展 Beta 函数的广义超几何函数的乘积。
• 在新算子下，z^{σ−1} 的分数阶导数结果包含扩展 Beta 函数 Bp,q(σ, −μ)，推广了经典结果 Γ(σ+1)/Γ(σ−μ+1) z^{σ−μ}。
• 梅特格-莱夫勒函数 Eγ,δ^μ(z) 的分数阶导数被证明产生一种新的 p-梅特格-莱夫勒型函数，涉及 Bp(η+k, ω−η)/B(η,ω−η)，建立了新的运算恒等式。
• 福克斯-赖 Wright 函数 mΨn 的分数阶导数被表示为包含扩展 Beta 函数 Bp^α(η+k, μ−η) 的级数，提供了新的运算公式。
• 当 α=1 且 p=0 时，结果退化为经典黎曼-刘维尔分数阶导数，确认了与已有理论的一致性。
• 当 λ=ρ 时，算子退化为先前已知的扩展形式（如 Rahman 等 [16]），验证了其普遍性与统一作用。