[论文解读] On a class of fully nonlinear elliptic equations on Hermitian manifolds

Bo Guan, Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文在 Hermitian 流形上建立了复 Monge-Ampère 型完全非线性椭圆方程的一类先验 C² 估计，证明了在存在次解的假设下，Dirichlet 问题存在唯一光滑可容许解。关键贡献在于新的二阶边界估计，该估计可推广至 ℂⁿ 中任意有界区域，即使度量具有挠率，从而填补了非凯勒流形上完全非线性方程理论中长期存在的空白。

ABSTRACT

We derive a priori $C^2$ estimates for a class of complex Monge-Ampere type equations on Hermitian manifolds. As an application we solve the Dirichlet problem for these equations under the assumption of existence of a subsolution; the existence result, as well as the second order boundary estimates, is new even for bounded domains in $\bfC^n$.

研究动机与目标

• 在带有边界的 Hermitian 流形上，为一类完全非线性椭圆方程的复 Monge-Ampère 型建立先验 C² 估计。
• 在 ℂⁿ 中任意光滑有界区域中求解这些方程的 Dirichlet 问题，包括非凯勒情形。
• 将二阶边界估计扩展至凯勒和强拟凸情形之外，尤其在存在非平凡挠率的情况下。
• 在仅假设存在一个次解的前提下，提供 Dirichlet 问题的新存在性结果，无需要求严格凸性或凯勒结构。

提出的方法

• 通过构造一个涉及解的 Hessian 与次解的辅助函数，利用最大值原理论证，推导出先验 C² 估计。
• 应用一种带障碍函数的扰动方法，该障碍函数包含距离函数与次解，以控制边界行为。
• 使用复 Hessian 结构，其中算子 G[𝑔𝑖𝑗̄] = 𝑆𝛼−1;𝑖(𝑔𝑙𝑙̄)²𝑔𝑖𝑗̄，此处 𝑆𝛼−1;𝑖 表示特征值的初等对称函数。
• 通过引入 𝜙 = 𝑒^{𝐴𝜂}，其中 𝜂 = 𝑢̲ − 𝑢 + sup(𝑢 − 𝑢̲)，采用次解技术，以控制由挠率引起的三阶项。
• 采用形如 𝐴𝑣 + 𝐵𝜌² + Φ − |(𝑢 − 𝜑)𝑦𝑛|² 的障碍函数，以控制边界处的法向二阶导数。
• 依赖复 Hessian 与曲率项的结构，特别是挠率项 𝑇𝑙𝑖𝑗，即使在非凯勒几何下也推导出一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有非平凡挠率的 Hermitian 流形上，为完全非线性椭圆方程的复 Monge-Ampère 型建立二阶边界估计？
• RQ2 在任意有界区域（即使非强拟凸）中，次解的存在是否足以保证 Dirichlet 问题存在光滑解，即使在非凯勒情形下？
• RQ3 能否将二阶估计扩展至完整范围 2 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛−2，而不仅限于先前研究的 𝛼 = 1 和 𝛼 = 𝑛−1 情形？
• RQ4 在一般 Hermitian 流形上，是否可在不假设度量或形式为凯勒的条件下求解这些方程的 Dirichlet 问题？
• RQ5 能否像凯勒情形一样，利用次解技术将零阶与二阶估计推广至非凯勒情形？

主要发现

• 本文在 Hermitian 流形上为方程 𝜒𝑢ⁿ = 𝜓𝜒𝑢ⁿ⁻ᵃ ∧ 𝹆ᵃ 的可容许解建立了边界处的先验 C² 估计。
• 在存在次解的假设下，即使流形具有非平凡挠率且区域为任意光滑区域，也证明了二阶边界估计。
• 在存在次解的前提下，建立了 Dirichlet 问题 (1.1)–(1.2) 的光滑可容许解的存在性与唯一性，该结果在 ℂⁿ 中的有界区域中亦属首次。
• 关键估计 (1.4) 将 ∂𝑀 上的 |∇²𝑢| 有界于一个常数，该常数依赖于 |𝑢|_{𝐶¹}、min 𝜓⁻¹、|𝑢̲|_{𝐶²}，以及存在常数 𝑐₁ 使得 𝑐₁𝜒𝑢̲ ≥ 𝜔。
• 该方法通过使用次解与精心构造的辅助函数，成功控制了由挠率引起的三阶项，克服了非凯勒几何中的一大技术障碍。
• 该结果拓展了先前关于复 Monge-Ampère 方程的研究，并将次解方法推广至 Hermitian 流形上更广泛的完全非线性方程类。