[论文解读] On a Class of Matrix Pencils Equivalent to a Given Matrix Polynomial

Dario A. Bini, Leonardo Robol|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 24被引用 2

一句话总结

该论文提出了一种新的矩阵 pencil A(x)，其与给定的矩阵多项式 P(x) 等价，通过使用互素首一多项式和定制的矩阵多项式，构建为对角加低秩结构。该方法确保了特征值问题的更好条件性，特别是在通过广义佩勒特定理和热带根选择根时，相较于 P(x) 显著提高了数值稳定性。

ABSTRACT

Abstract. We say that an mˆm matrix polynomial P pxq “ řni“0 Pixi is equivalent to an mqˆ mq matrix polynomial Apxq, and write Apxq « P pxq, if there exist mqˆmq matrix polynomials Epxq, F pxq such that detEpxq and detF pxq are nonzero constants and EpxqApxqF pxq “ Impq´1q ‘ P pxq. Given P pxq of degree n we provide an mq ˆmq matrix polynomial Apxq such that: Apxq « P pxq, A#pxq « P#pxq, where P#pxq “ xnP px´1q is the reversed polynomial of P pxq; Apxq has the form Apxq “ Dpxq ` rIm,..., ImstrW1pxq,...,Wqpxqs, where Dpxq is a diagonal matrix defined by Dpxq “ diagpb1pxqIm,..., bq´1pxqIm, bqpxqPn ` sIm, the polynomials b1pxq,..., bqpxq are any co-prime monic polynomials of degree d1,..., dq, respectively, while W1pxq,...,Wqpxq are matrix polynomials of degree less than d1,..., dq where d1 ` ¨ ¨ ¨ ` dq “ n and s is a constant which makes bqpxqPn ` sIm nonsingular modulo bipxq, i “ 1,..., q ´ 1. An explicit expression of the eigenvectors of Apxq as functions of the eigenvalues is proven. For bipxq “ px ´ βiqIm, i “ 1,..., n, the matrix polynomial Apxq is a linear pencil of the form diagonal plus low-rank. Numerical experiments show that for suitable choices of β1,..., βn obtained by means of the generalized Pellet theorem and the use of tropical roots, the eigenvalue problem for Apxq is much better conditioned than the eigenvalue problem for P pxq.

研究动机与目标

• 构造一个与给定矩阵多项式 P(x) 等价的矩阵 pencil A(x)，使得 A(x) 及其反转形式 A#(x) 分别与 P(x) 和 P#(x) 等价。
• 确保 A(x) 的特征值问题相较于 P(x) 条件性更优，尤其适用于高次或病态多项式。
• 将 A(x) 构造为结合对角块和低秩更新的结构化矩阵多项式，使用互素首一多项式和次数受限的矩阵多项式。
• 提供 A(x) 特征向量的显式表达式，以特征值为变量，实现直接谱分析。
• 通过数值实验表明，利用广义佩勒特定理和热带根进行最优根选择，可显著改善 A(x) 的条件性。

提出的方法

• 通过幺模矩阵多项式 E(x) 和 F(x) 定义等价关系，使得 E(x)A(x)F(x) = I_{m(n-1)} ⊕ P(x)，确保结构等价性。
• 将 A(x) 构造为 D(x) + [Im,...,Im]s[W1(x),...,Wq(x)]，其中 D(x) 为块对角矩阵，其多项式元素 b1(x),...,bq(x) 的次数分别为 d1,...,dq，且总和为 n。
• 选择 b1(x),...,bq(x) 为指定次数 d1,...,dq 的互素首一多项式，以确保结构唯一性和可逆性条件。
• 通过适当选择常数 s，确保 bq(x)Pn + sIm 在模 bi(x) 下对 i=1,...,q-1 非奇异，从而保证可逆性和稳定性。
• 利用广义佩勒特定理和热带根选择根 β1,...,βn，使得 A(x) 的特征值问题具有良好的条件性。
• 推导 A(x) 特征向量的显式表达式，作为特征值的函数，以支持谱分析和向后误差控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个矩阵 pencil A(x)，使其与 P(x) 及其反转多项式 P#(x) 均等价？
• RQ2 如何设计 A(x) 的结构，以使特征值问题的条件性优于 P(x)？
• RQ3 互素首一多项式和低秩更新在确保特征值计算的数值稳定性中起什么作用？
• RQ4 能否为 A(x) 推导出以特征值为变量的显式特征向量表达式？它们如何辅助谱分析？
• RQ5 基于广义佩勒特定理和热带根的根选择策略，在多大程度上提升了 A(x) 的条件性？

主要发现

• 所构造的矩阵 pencil A(x) 与 P(x) 及其反转多项式 P#(x) 均等价，确保了结构和谱的一致性。
• A(x) 的形式为对角矩阵加低秩更新，其块结构由指定次数之和为 n 的互素首一多项式 b1(x),...,bq(x) 定义。
• 通过适当选择常数 s，使得 bq(x)Pn + sIm 在模 bi(x) 下对 i=1,...,q-1 非奇异，从而保证可逆性和稳定性。
• 推导出 A(x) 特征向量的显式表达式，作为特征值的函数，支持直接谱分析和向后误差控制。
• 数值实验表明，当 β1,...,βn 通过广义佩勒特定理和热带根选择时，A(x) 的特征值问题相较于 P(x) 显著更优。
• 在特殊情形 bi(x) = (x - βi)^m 下，A(x) 变为对角加低秩形式的线性 pencil，具有有利的数值性质。