[论文解读] On a class of $q$-Bernoulli, $q$-Euler and $q$-Genocchi polynomials

Nazım I. Mahmudov, Mohammad Momenzadeh|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过 $q$-微积分形式化，引入了一类统一的 $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式，推导出经典恒等式的 $q$-模拟，包括受 Srivastava–Pintér 启发的 $q$-加法定理。主要贡献在于提出了一种新颖的 $q$-加法运算，并通过 $q$-二项式系数和 $q$-Stirling 数建立了 $q$-Genocchi 与 $q$-Bernoulli 多项式之间的显式关系。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to introduce and investigate a class of $q$-Bernoulli, $q$-Euler and $q$-Genocchi polynomials. The $q$-analogues of well-known formulas are derived. The $q$-analogue of the Srivastava--Pintér addition theorem is obtained. Some new identities involving $q$-polynomials are proved.

研究动机与目标

• 通过 $q$-微积分建立 $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式的统一框架。
• 将经典多项式恒等式（如 Srivastava–Pintér 加法定理）推广至 $q$-模拟情形。
• 通过 $q$-二项式系数和 $q$-Stirling 数结构，建立 $q$-Genocchi 与 $q$-Bernoulli 多项式之间的新关系。
• 基于 $q$-指数函数 $\mathcal{E}_q(z)$ 定义一种新颖的 $q$-加法运算 $x \oplus_q y$，并由此推导出新的生成函数恒等式。

提出的方法

• 定义经典特殊函数的 $q$-模拟：$q$-移位阶乘、$q$-数、$q$-阶乘和 $q$-二项式系数。
• 通过生成函数 $\mathcal{E}_q(tx)\mathcal{E}_q(ty) = \sum_{n=0}^\infty (x \oplus_q y)^n \frac{t^n}{[n]_q!}$ 引入新的 $q$-加法运算 $x \oplus_q y$。
• 利用 $q$-指数函数 $\mathcal{E}_q(z) = e_q(z/2)E_q(z/2)$ 定义 $q$-多项式的生成函数。
• 通过生成函数的运算和 $q$-二项式展开，推导出 Srivastava–Pintér 加法定理的 $q$-模拟。
• 使用第二类 $q$-Stirling 数 $\left\{ \begin{array}{c} k \\ j \end{array} \right\}_q$ 表达多项式复合与卷积恒等式。
• 通过 $q$-生成函数的幂级数展开中系数比较，建立递推与变换恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一 $q$-微积分框架下系统性地统一 $q$-Bernoulli、$q$-Euler 和 $q$-Genocchi 多项式？
• RQ2 $q$-多项式中 Srivastava–Pintér 加法定理的 $q$-模拟是什么？
• RQ3 $q$-Genocchi 与 $q$-Bernoulli 多项式如何通过 $q$-二项式与 $q$-Stirling 数结构相互关联？
• RQ4 从 $q$-指数函数 $\mathcal{E}_q(z)$ 中涌现出的新型 $q$-加法运算 $x \oplus_q y$ 是什么？它如何推广经典加法？

主要发现

• 本文通过 $q$-加法运算 $x \oplus_q y$（由 $\mathcal{E}_q(tx)\mathcal{E}_q(ty) = \sum_{n=0}^\infty (x \oplus_q y)^n \frac{t^n}{[n]_q!}$ 定义）推导出 Srivastava–Pintér 加法定理的 $q$-模拟。
• 提出一种新的 $q$-加法运算 $x \oplus_q y$，其表达式为 $\sum_{k=0}^n \left[\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_k(-1,q)_{n-k}}{2^n} x^k y^{n-k}$，推广了经典多项式加法。
• $q$-Genocchi 与 $q$-Bernoulli 多项式通过包含 $q$-二项式系数和 $q$-Stirling 数的卷积恒等式相关联：$\mathfrak{G}_{n,q}(x,y) = \frac{1}{[n+1]_q} \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{m^{n-k}} \left[\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right]_q \left( \sum_{j=0}^k \left[\begin{array}{c}k \\ j\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_{k-j}}{m^{k-j}2^{k-j}} \mathfrak{G}_{j,q}(x) - \mathfrak{G}_{k,q}(x) \right) \mathfrak{B}_{n+1-k,q}(my)$。
• 对 $q$-Bernoulli 多项式建立了类似恒等式：$\mathfrak{B}_{n,q}(x,y) = \frac{1}{2[n+1]_q} \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{m^{n-k}} \left[\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right]_q \left( \sum_{j=0}^k \left[\begin{array}{c}k \\ j\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_{k-j}}{m^{k-j}2^{k-j}} \mathfrak{B}_{j,q}(x) + \mathfrak{B}_{k,q}(x) \right) \mathfrak{G}_{n+1-k,q}(my)$。
• $\mathcal{E}_q(z)$ 的生成函数引出了新的 $q$-指数结构，使得 $q$-加法与 $q$-减法运算得以定义，从而扩展了经典多项式恒等式。