[论文解读] On a class of selection rules without group actions in field theory and string theory

Justin Kaidi, Yuji Tachikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2024

Distributed and Parallel Computing Systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一类在量子场论和弦理论中精确的树图选择规则，这些规则并非源于场上的群作用，而是源自非阿贝尔群中的融合代数或共轭类。这些规则在高阶圈图中被破坏，最终通过阿贝尔化还原为标准的群选择规则，从而为从世界膜非可逆对称性出发构建时空中的非可逆对称性提供了框架。

ABSTRACT

We discuss a class of selection rules which i) do not come from group actions on fields, ii) are exact at tree level in perturbation theory, iii) are increasingly violated as the loop order is raised, and iv) eventually reduce to selection rules associated with an ordinary group symmetry. We start from basic field-theoretical examples in which fields are labeled by conjugacy classes rather than representations of a group, and discuss generalizations using fusion algebras or hypergroups. We also discuss how such selection rules arise naturally in string theory, such as for non-Abelian orbifolds or other cases with non-invertible worldsheet symmetries.

研究动机与目标

• 识别并形式化量子场论中不依赖于场上的群作用的选择规则类别。
• 解释此类选择规则如何从非阿贝尔群中的融合代数或共轭类中产生。
• 证明这些规则在树图层级精确成立，但在更高圈图阶次中逐渐被破坏。
• 表明在无限圈图阶次下，这些规则会还原为与底层群的阿贝尔化相关的标准选择规则。
• 将这些选择规则与弦理论中的物理实现联系起来，如非阿贝尔群的对称性与世界膜上的非可逆对称性。

提出的方法

• 论文使用融合代数构造选择规则，其融合规则为 $ ab = \sum_c N^c_{ab} c $，其中场由代数的元素标记。
• 对非零树图振幅施加条件 $ e \prec \overline{a_1} \cdots \overline{a_n} a_{n+1} \cdots a_m $。
• 该方法推广到场由群 $ G $ 的共轭类 $[g_i]$ 标记的情况，要求在拉格朗日量中存在 $ \tilde{g}_1 \cdots \tilde{g}_n = e $，其中 $ \tilde{g}_i \in [g_i] $。
• 使用阿贝尔化 $ \mathrm{Ab}[G] = G/[G,G] $ 描述在无限圈图阶次下的极限行为。
• 该框架应用于具体例子：ADE对称性、伊辛理论、$ S^1/\mathbb{Z}_2 $ 以及塔姆巴拉-山本代数。
• 对低秩融合代数进行分类，其共轭对长度大于1，包括无法由融合范畴实现的情况，并计算其量子维数和对偶集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖场上的群作用的前提下定义量子场论中的选择规则？
• RQ2 在树图层级精确但在更高圈图阶次被破坏的选择规则具有何种结构？
• RQ3 此类选择规则在无限圈图阶次下如何还原为标准的群选择规则？
• RQ4 融合代数和共轭类在生成这些选择规则中扮演何种角色？
• RQ5 这些选择规则在弦理论中如何体现，特别是在非阿贝尔群对称性和世界膜非可逆对称性中？

主要发现

• 本文识别出一类基于融合代数的选择规则，这些规则在树图层级精确成立，但在更高圈图阶次中逐渐被破坏。
• 对于由非阿贝尔群 $ G $ 的共轭类标记的理论，选择规则 $ \tilde{g}_1^{-1} \cdots \tilde{g}_n^{-1} \tilde{g}_{n+1} \cdots \tilde{g}_m = e $ 在树图层级对某些 $ \tilde{g}_i \in [g_i] $ 成立，但在圈图层级被破坏。
• 在无限圈图阶次下，选择规则还原为阿贝尔化 $ \mathrm{Ab}[G] = G/[G,G] $ 的规则，从而恢复标准群选择规则。
• 本文构建并分类了8个秩为6和5个秩为7的融合代数，其共轭对长度大于1，其中部分无法由融合范畴实现。
• 秩为6的示例中，总量子维数范围为 $ \mathcal{D}^2 \approx 18.9282 $ 至 $ 36.7792 $，秩为7的示例中为 $ \approx 21.1231 $ 至 $ 42 $，且所有情况下均有 $ \mathrm{Com}(A)^2 = \mathrm{Com}(A)^\infty $。
• 在所有秩为7的情况下，对偶集合 $ \mathrm{Com}(A)^2 $ 和 $ \mathrm{Com}(A)^\infty $ 均等于完整的标签集合 $ \{1,2,3,4,5,6,7\} $。