[论文解读] On a Class of Singular Projectively Flat Finsler Metrics with Constant Flag Curvature

Guojun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文分类了在 $n=2$ 和 $n\geq 3$ 维度下，具有常数旗曲率的局部射影平坦奇异 $(\alpha,\beta)$-度量。证明此类度量要么是平坦平行的，要么是局部闵可夫斯基型的，给出了 $m$-Kropina 和 Kropina 度量的显式构造，并表明常数旗曲率并不蕴含平坦平行性，从而将关于 Randers 和 $(\alpha+\beta)^2/\alpha$ 度量的已知结果推广至奇异情形。

ABSTRACT

Singular Finsler metrics, such as Kropina metrics and $m$-Kropina metrics, have a lot of applications in the real world. In this paper, we classify a class of singular $(α,β)$-metrics which are locally projectively flat with constant flag curvature in dimension $n= 2$ and $n \ge 3$ respectively. Further, we determine the local structure of $m$-Kropina metrics and particularly Kropina metrics which are projectively flat with constant flag curvature and prove that such metrics must be locally Minkowskian but are not necessarily flat-parallel.

研究动机与目标

• 对在 $n=2$ 和 $n\geq 3$ 维度下，具有常数旗曲率的奇异 $(\alpha,\beta)$-度量进行分类。
• 在这些曲率和射影平坦性条件下，确定 $m$-Kropina 和 Kropina 度量的局部结构。
• 将已知的具有常数旗曲率的正则 $(\alpha,\beta)$-度量分类结果推广至 $\phi(0)=0$ 或未定义的奇异情形。
• 证明此类度量是局部闵可夫斯基型的，但不一定是平坦平行的，从而解决奇异情形与正则情形之间的一个关键区别。

提出的方法

• 分析形如 $F = \alpha\phi(s)$，$s=\beta/\alpha$ 的 $(\alpha,\beta)$-度量，其中 $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$，$m \neq 0,1$，$\varphi(0)=1$，且当 $m$ 为负整数时 $c=0$。
• 通过射影因子 $P$ 应用射影平坦性条件，并推导出关于 $\alpha$ 和 $\beta$ 的偏微分方程组。
• 通过变形 $\widetilde{\alpha} = \alpha/b$，$\widetilde{\beta} = \beta/b^2$ 简化度量结构，并将其约化为平坦性和平行性条件。
• 求解所得的常微分方程和偏微分方程，以系数 $r_{00}$，$s_{ij}$ 和 $G^i_\alpha$ 为基础，将度量分类为平坦平行型或特定的 $m$-Kropina 形式。
• 利用泰勒展开和解析性假设，推导出常数旗曲率情形下 $\alpha$ 和 $\beta$ 的显式局部表达式。
• 在奇异度量背景下应用 Beltrami 定理和 Schur 定理，以约束曲率和射影几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，形如 $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$ 的奇异 $(\alpha,\beta)$-度量具有常数旗曲率且局部射影平坦？
• RQ2 $m$-Kropina 和 Kropina 度量（$m=-1$）能否在非平坦平行的情况下具有射影平坦性与常数旗曲率？
• RQ3 在 $n=2$ 和 $n\geq 3$ 维度下，此类度量的 $\alpha$ 和 $\beta$ 的显式局部形式是什么？
• RQ4 常数旗曲率条件在奇异 $(\alpha,\beta)$-度量中，相较于正则情形，如何进一步约束其几何结构？
• RQ5 具有常数旗曲率的射影平坦奇异 $(\alpha,\beta)$-度量类是否严格大于平坦平行型或已知正则情形？

主要发现

• 对于 $n \geq 2$，奇异 $(\alpha,\beta)$-度量 $F = \alpha\phi(s)$，其中 $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$，当且仅当其为平坦平行度量时，即 $\alpha$ 为平坦的且 $\beta$ 关于 $\alpha$ 平行时，才具有射影平坦性与常数旗曲率。
• 对于 $n \geq 2$，度量 $F = \beta^m(\alpha^2 + k\beta^2)^{(1-m)/2}$ 具有射影平坦性与零旗曲率 $K=0$，为局部闵可夫斯基型，但不一定是平坦平行的。
• 对于 $n=2$，度量 $F = \frac{2b}{1-kb^2}\left\{b\sqrt{\alpha^2 - k\beta^2} - \sqrt{b^2\alpha^2 - \beta^2}\right\}$ 具有负的常数旗曲率 $K<0$，其中 $b = \|\beta\|_\alpha$。
• $m$-Kropina 度量 $F = \beta^m \alpha^{1-m}$ 具有射影平坦性与常数旗曲率当且仅当其为局部闵可夫斯基型，但不一定是平坦平行的，此结论通过变形至 $\widetilde{\alpha}$ 和 $\widetilde{\beta}$ 得到验证。
• 对于第五类度量 $F = k_1\beta + 2k_2\alpha^2/\beta + \alpha^4/\beta^3$ 且满足 $k_1 - k_2^2 \neq 0$，射影平坦性与常数旗曲率蕴含 $K=0$，且 $F$ 为局部闵可夫斯基型，其中 $\alpha$ 平坦且 $\beta$ 平行。
• 本文证明了对于奇异度量，常数旗曲率并不蕴含平坦平行性，即使度量是局部闵可夫斯基型，因此区分了奇异情形与正则情形。