[论文解读] On a class of translation-invariant spaces of quasianalytic ultradistributions

Павел Димовски, Bojan Prangoski+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文引入并研究了一类新的拟解析超函数的平移不变Banach空间，推广了此前关于缓增和非拟解析超函数的研究。通过构造相关的测试函数空间 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 及其强对偶空间 $\mathcal{D}^{\bullet}_{E^\prime}$，作者建立了卷积与乘法积结构，将结果推广至拟解析情形，包括具有指数增长权的傅里叶超函数与超超函数。

ABSTRACT

A class of translation-invariant Banach spaces of quasianalytic ultradistributions is introduced and studied. They are Banach modules over a Beurling algebra. Based on this class of Banach spaces, we define corresponding test function spaces $\\mathcal{D}^*_E$ and their strong duals $\\mathcal{D}'^*_{E'_{\\ast}}$ of quasianalytic type, and study convolution and multiplicative products on $\\mathcal{D}'^*_{E'_{\\ast}}$. These new spaces generalize previous works about translation-invariant spaces of tempered (non-quasianalytic ultra-) distributions; in particular, our new considerations apply to the settings of Fourier hyperfunctions and ultrahyperfunctions. New weighted $\\mathcal{D}'^{\\ast}_{L^{p}_{\\eta}}$ spaces of quasianalytic ultradistributions are analyzed.

研究动机与目标

• 将超分布的平移不变Banach空间理论推广至拟解析情形。
• 定义并研究拟解析超分布的测试函数空间 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 及其强对偶空间 $\mathcal{D}^{\bullet}_{E^\prime}$。
• 将加权空间 $\mathcal{D}^\prime_{L^p_\eta}$ 与 $\mathcal{B}^\prime_\eta$ 推广至具有超多项式有界权的拟解析情形。
• 在 $\mathcal{D}^{\prime}_{E^\prime}$ 上建立连续与拟连续的卷积与乘法积结构。
• 将结果应用于拟解析超函数与超超函数，包括具有指数权增长的情形。

提出的方法

• 构造满足 $\mathcal{S}^{*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d) \hookrightarrow E \hookrightarrow \mathcal{S}^{\prime*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d)$ 的平移不变Banach空间 $E$，其中权函数为类 $\dagger$ 的超多项式有界函数。
• 将测试函数空间 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 定义为 $\mathcal{S}^{*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d)$ 的子空间，且其在 $E$ 中具有稠密、连续的嵌入。
• 证明 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 是Beurling代数 $L^1_\omega$ 上的拓扑模，其中 $\omega$ 为 $E$ 的平移群的权函数。
• 使用参数解法（引理2.2）推导 $\mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$（即 $\mathcal{D}_{E}$ 的强对偶）的结构与拓扑性质。
• 引入并分析新的加权空间 $\mathcal{D}^{\prime\ast}_{L^p_\eta}$、$\mathcal{B}^{\prime\ast}_\eta$ 与 $\dot{\mathcal{B}}^{\prime\ast}_\eta$，其权函数为拟解析序列且具有指数增长。
• 通过连续性与拟连续性论证，将卷积与乘法积结果从非拟解析情形推广至拟解析情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造并表征拟解析超分布的平移不变Banach空间？
• RQ2 测试函数空间 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 及其强对偶空间 $\mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ 的结构与拓扑性质是什么？
• RQ3 在拟解析情形下，卷积与乘法积在 $\mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ 上的行为如何？
• RQ4 加权空间 $\mathcal{D}^\prime_{L^p_\eta}$ 与 $\mathcal{B}^{\prime}_\eta$ 的理论在多大程度上可推广至具有指数权的拟解析超分布？
• RQ5 参数解法是否可被调整以在拟解析情形下证明对偶性与嵌入结果？

主要发现

• 空间 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 是Beurling代数 $L^1_\omega$ 上的拓扑模，其中 $\omega$ 为 $E$ 的平移群的权函数。
• 稠密嵌入关系 $\mathcal{S}^{*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d) \hookrightarrow \mathcal{D}^{*}_{E} \hookrightarrow E \hookrightarrow \mathcal{S}^{\prime*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d)$ 成立，且 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 在 $\mathcal{O}^{*}_{\dagger,C}(\mathbb{R}^d)$ 中稠密嵌入。
• 在Roumieu情形下，$\mathcal{D}^{*}_{E}$ 与 $\tilde{\mathcal{D}}^{*}_{E}$ 拓扑等价，即 $\mathcal{D}^{*}_{E} = \tilde{\mathcal{D}}^{*}_{E}$。
• $\dot{\mathcal{B}}^{(M_p)}_{\eta}$ 是分明的，即其强双对偶中的每个有界子集都包含在 $\dot{\mathcal{B}}^{(M_p)}_{\eta}$ 的某个有界子集的弱拓扑闭包中。
• 卷积映射 $\ast: \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \times \mathcal{D}^{*}_{L^1_{\check{\omega}}} \to \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ 与 $\ast: \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \times \mathcal{O}^{\prime*}_{\dagger,C,b} \to \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ 是连续的。
• 当 $E$ 为自反空间时，卷积 $\ast: \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \times \mathcal{D}^{*}_{\check{E}} \to \dot{\mathcal{B}}^{*}_{\omega}$ 是连续的，且嵌入关系 $\mathcal{D}^{\prime*}_{L^1_{\check{\omega}}} \hookrightarrow \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \hookrightarrow \dot{\mathcal{B}}^{\prime*}_{\omega}$ 成立。