[论文解读] On a classification of the automorphism groups of polarized abelian surfaces over finite fields

WonTae Hwang|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文利用自同态代数、Honda-Tate理论以及除法代数中的最大序，对有限域上极化阿贝尔曲面的自同构群可能构成的最大有限群进行了分类。关键结果是对这些群的完整分类，按同源类型组织：简单型、非同源椭圆曲线的乘积型、普通型和超奇异型阿贝尔曲面，具体实现见表10至表13。

ABSTRACT

We give a classification of maximal elements of the set of finite groups that can be realized as the full automorphism groups of polarized abelian surfaces over finite fields.

研究动机与目标

• 对有限域上极化阿贝尔曲面的全自同构群可实现的所有有限群进行分类。
• 识别出其同源类中最大的群，确保分类的完备性。
• 将复阿贝尔曲面的已知结果扩展至正特征，特别是有限域情形。
• 通过除代数中的最大序与不变格，提供这些群的显式实现。
• 按同源类型组织分类：简单型、非同源椭圆曲线的乘积型、普通型和超奇异型阿贝尔曲面。

提出的方法

• 利用Albert对单阿贝尔簇自同态代数的分类及Rosati对合，分析可能的自同构群结构。
• 应用Honda-Tate理论，通过Weil数对有限域上阿贝尔曲面的同源类进行分类。
• 运用Dedekind环中最大序的结果，构造具有指定自同态环的阿贝尔簇。
• 利用有理数上除代数$D$的$GL_2(D)$的有限子群理论，特别是$D_{p,\infty}$，对有限自同构群进行分类。
• 应用引理4.11关于$G$-不变$\mathcal{O}$-格与定理2.14，通过群作用构造极大$\mathbb{Z}$-序。
• 通过从全自同态域定义在基域上的超奇异椭圆曲线的同源提升，构造显式例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群可以作为有限域上极化阿贝尔曲面的自同构群？
• RQ2 这些群中哪些在其同源类中是最大的？这种极大性如何刻画？
• RQ3 阿贝尔曲面的自同态代数——尤其是单连通型、普通型与超奇异型——如何影响可能的自同构群？
• RQ4 除代数中的最大序在实现这些自同构群中起什么作用？
• RQ5 所有此类极大自同构群是否都能在全自同态域的有限域上显式构造？

主要发现

• 有限域上极化阿贝尔曲面的极大自同构群被完全分类为四种情况：单连通型、非同源椭圆曲线的乘积型、普通椭圆曲线的幂型，以及超奇异椭圆曲线的幂型。
• 针对每种同源类型，本文在表10至表13中提供了可能的极大自同构群的完整列表。
• 群$D_6$作为$\mathbb{F}_{58081}$上极化阿贝尔曲面的自同构群出现，其在超奇异椭圆曲线$E$的平方$E^2$上实现，满足$\mathrm{End}_k^0(E) = D_{241,\infty}$。
• 群$\mathfrak{I}^*$（二十二面体群）在$\mathbb{F}_{49}$上实现为超奇异$E^2$的自同构群，其中$\mathrm{End}_k^0(E) = D_{7,\infty}$。
• 群$\mathfrak{T}^*$（二面体四面体群）在$\mathbb{F}_{58081}$上实现为$E^2$的自同构群，其中$\mathrm{End}_k^0(E) = D_{241,\infty}$。
• 该构造方法确保每个群在其同源类中均为极大群，且通过$G$-不变格与$M_2(D_{p,\infty})$中的最大序，保证了此类阿贝尔曲面的存在性。