[论文解读] On a Conjecture of a Bound for the Exponent of the Schur Multiplier of a Finite $p$-Group

Behrooz Mashayekhy, Azam Hokmabadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文为有限 $p$-群 $G$ 的 $c$-幂零乘子 $M^{(c)}(G)$ 建立了一个新的上界。证明了 $\exp(M^{(c)}(G))$ 整除 $\exp(G) \cdot p^{m(k-1)}$，其中 $m = \lfloor \log_p k \rfloor$，在特定条件下改进了 Jones、Ellis 和 Moravec 的先前结果，并证实了关于所有 $p$-群满足类数 $\leq p-1$ 时 $\exp(M(G))$ 整除 $\exp(G)$ 的猜想。

ABSTRACT

Let $G$ be a $p$-group of nilpotency class $k$ with finite exponent $\exp(G)$ and let $m=\lfloor\log_pk floor$. We show that $\exp(M^{(c)}(G))$ divides $\exp(G)p^{m(k-1)}$, for all $c\geq1$, where $M^{(c)}(G)$ denotes the c-nilpotent multiplier of $G$. This implies that $\exp(M(G))$ divides $\exp(G)$ for all finite $p$-groups of class at most $p-1$. Moreover, we show that our result is an improvement of some previous bounds for the exponent of $M^{(c)}(G)$ given by M. R. Jones, G. Ellis and P. Moravec in some cases.

研究动机与目标

• 细化有限 $p$-群的 $c$-幂零乘子 $M^{(c)}(G)$ 的指数上界。
• 研究施瓦茨乘子 $M(G)$ 的指数是否整除群 $G$ 的指数，这是一个长期存在的猜想。
• 改进 Jones（$\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{k-1}$）、Ellis（$\exp(M^{(c)}(G)) \mid \exp(G)^{\lceil k/2 \rceil}$）和 Moravec（$\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{2\lfloor \log_2 k \rfloor}$）的先前结果。
• 建立 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)$ 猜想成立的条件，特别是对类数 $\leq p-1$ 的 $p$-群。
• 通过直积分解和西罗子群，将结果推广至幂零群。

提出的方法

• 利用自由表示 $G = F/R$，将 $M^{(c)}(G)$ 表示为 $\gamma_{c+1}(F)/[R,{}_cF]$，并利用群换位子恒等式。
• 应用基本换位子理论和 Hall-Witt 恒等式，将群元素的幂分解为基本换位子的乘积。
• 使用引理 2.2（幂在幂零群中的展开）将 $g^\alpha$ 表示为基本换位子的幂与修正项的乘积。
• 利用引理 2.5 限制修正项的指数 $f_i(\alpha)$，在 $\alpha = p^{e + m(k-1)}$ 的指数假设下，证明其可被 $p^{e + m(k-2)}$ 整除。
• 通过归纳法和 $[R,{}_cF]$ 的群论性质，证明 $g^\alpha \in [R,{}_cF]$，从而证明指数整除 $p^{e + m(k-1)}$。
• 结合关于直积乘子的已知定理，将结果推广至一般幂零群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否比先前结果更紧密地界定有限 $p$-群 $G$（类数为 $k$）的 $c$-幂零乘子 $M^{(c)}(G)$ 的指数？
• RQ2 在何种条件下 $\exp(M(G))$ 整除 $\exp(G)$，且该结论是否对类数 $\leq p-1$ 的 $p$-群成立？
• RQ3 新界 $\exp(M^{(c)}(G)) \mid \exp(G) \cdot p^{\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)}$ 与 Jones 的 $\exp(G)^{k-1}$、Ellis 的 $\exp(G)^{\lceil k/2 \rceil}$ 和 Moravec 的 $\exp(G)^{2\lfloor \log_2 k \rfloor}$ 相比如何？
• RQ4 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)$ 的猜想是否对所有类数不超过 $p-1$ 的 $p$-群成立？
• RQ5 能否通过西罗子群分解和乘子分解定理，将该结果推广至一般有限幂零群？

主要发现

• 对于所有 $c \geq 1$，$M^{(c)}(G)$ 的指数整除 $\exp(G) \cdot p^{m(k-1)}$，其中 $m = \lfloor \log_p k \rfloor$。
• 当 $\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)/k < e$ 时，该界优于 Jones 的结果 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{k-1}$，即对指数为 $p^e$ 且类数 $\leq p^e - 1$ 的 $p$-群成立。
• 当 $\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)/\lceil k/2 \rceil - 1 < e$ 时，该界优于 Ellis 的结果 $\exp(M^{(c)}(G)) \mid \exp(G)^{\lceil k/2 \rceil}$，尤其在 $k < p^{e/3}$（$k \geq 3$）或 $k < p^{e/4}$（$k \geq 4$）时成立。
• 当 $\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)/(2\lfloor \log_2 k \rfloor) - 1 < e$ 时，该界优于 Moravec 的结果 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{2\lfloor \log_2 k \rfloor}$，尤其在 $k < e$（$k \geq 2$）时成立。
• 猜想 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)$ 对所有类数不超过 $p-1$ 的有限 $p$-群成立，如推论 3.4 所示。
• 对于一般有限幂零群 $G$（类数为 $k$），若 $k \leq \max\{p_i - 1\}$，其中 $p_i$ 是 $|G|$ 的素因子，则该猜想成立，这是由于乘子的积分解性质。