[论文解读] On a conjecture of Atiyah

Rostislav Grigorchuk, Peter A. Linnell+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 38

一句话总结

本文通过构造一个反例，推翻了强阿蒂亚猜想。研究展示了一个闭的7维黎曼流形，其基本群为G，其第三 $L^{2}$-贝蒂数为 $rac{1}{3}$，这是一个分母（3）不整除任何2的幂次的非整数有理数——而2的幂次正是G的有限子群的阶。该结果源于对灯工群的马尔可夫算子的谱分析，表明相关算子的核维数产生了一个非整数的 $L^{2}$-贝蒂数，从而否定了此类不变量必须属于有限子群阶的逆元生成子群的猜想。

ABSTRACT

In this note we explain how the computation of the spectrum of the lamplighter group from \cite{Grigorchuk-Zuk(2000)} yields a counterexample to a strong version of the Atiyah conjectures about the range of $L^2$-Betti numbers of closed manifolds.

研究动机与目标

• 为推翻强阿蒂亚猜想，该猜想认为闭流形的 $L^{2}$-贝蒂数是分母整除其基本群中有限子群阶的有理数。
• 证明即使对于初等幂零群，该猜想也可能不成立，特别是当有限子群的阶无统一上界时。
• 表明满足强阿蒂亚猜想的群类在无统一上界条件下，对HNN扩张或并接积不封闭。
• 提供一个具体的流形实例，其 $L^{2}$-贝蒂数非整数，从而违反与有限子群结构相关的有理数条件。

提出的方法

• 作者分析了灯工群上马尔可夫算子 $A$ 的谱，利用 [GZ01] 中关于该群上随机游动谱测度的结果。
• 他们证明算子 $A$ 的谱测度是离散的，且在 $[-1,1]$ 的一个稠密子集上具有支撑，其在值 $\frac{1}{2^q - 1}$（$q \in \mathbb{N}$）处有跳跃，包括 $\frac{1}{3}$。
• 通过谱分析，计算出 $L^{2}$-贝蒂数 $b_{3}^{(2)}(M)$ 为算子 $A$ 的核的维数，结果为 $\frac{1}{3}$。
• 从群表示构造一个具有基本群 $G$ 的有限3维CW复形 $X$，并利用组合 $L^{2}$-余上链复形计算其 $L^{2}$-贝蒂数。
• 将复形 $X$ 三角剖分并嵌入 $\mathbb{R}^8$，然后将其加厚为具有边界的光滑8维流形 $M$，并证明 $M$ 与 $X$ 是4-同伦等价，从而保持 $L^{2}$-贝蒂数不变。
• 利用 $L^{2}$-霍奇-德·拉姆定理，确认黎曼流形 $(M,g)$ 的解析 $L^{2}$-贝蒂数等于组合不变量，从而得到 $b_{3}^{(2)}(M,g) = \frac{1}{3}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个闭流形，其 $L^{2}$-贝蒂数为非有理数，从而违反阿蒂亚猜想？
• RQ2 强阿蒂亚猜想是否可被一个初等幂零群的基本群所违反，且该群的有限子群阶无统一上界？
• RQ3 是否存在一个反例，其基本群为无挠群，从而对群环中的零因子猜想产生影响？
• RQ4 在无挠群上，马尔可夫算子的谱测度是否可能不绝对连续或包含奇异部分？
• RQ5 若无挠群的马尔可夫算子存在谱间隙，是否意味着该群或其 $L^{2}$-上同调具有更强的结构性质？

主要发现

• 具有基本群 $G$ 的闭7维流形的第三 $L^{2}$-贝蒂数恰好为 $\frac{1}{3}$，这是一个分母（3）不整除任何2的幂次的有理数。
• 群 $G$ 是灯工群的幂零HNN扩张，其所有有限子群均为初等阿贝尔2-群，因此 $\operatorname{fin}^{-1}(G) = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$，即二进有理数。
• $\frac{1}{3}$ 不在 $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ 中，因此违反了强阿蒂亚猜想，该猜想要求 $b_{p}^{(2)}(M) \in \operatorname{fin}^{-1}(\pi_1(M))$。
• 在群 $G$ 上，马尔可夫算子的谱测度在 $\frac{1}{2^q - 1}$ 处具有离散跳跃，且核维数 $\dim_G(\ker A) = \frac{1}{3}$，该值直接计算出 $L^{2}$-贝蒂数。
• 通过将3维复形嵌入 $\mathbb{R}^7$ 并加厚为7维流形，将构造推广至6维反例，其中 $L^{2}$-贝蒂数仍为 $\frac{1}{3}$，从而在更低维中确认了结果。
• 该结果表明，满足强阿蒂亚猜想的群类在无有限子群阶统一上界时，对HNN扩张不封闭。