[论文解读] On a conjecture of Erdos and Simonovits: Even Cycles

Peter Keevash, Benny Sudakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文证明了Erdős-Simonovits在极值图论中的一个猜想，表明在禁止偶圈族$\mathcal{C}_{2\ell}$的同时，再禁止一个奇圈$C_k$（其中$k > 2\ell$为奇数），可使Turán数渐近等价于Zarankiewicz数$\mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$，当$\ell \in \{2,3,5\}$时成立。关键结果建立了稳定性：近乎极值的图是二分图且具有伪随机性，且当$n$足够大时，极值图即为广义多边形的关联图。

ABSTRACT

Let $\mc{F}$ be a family of graphs. A graph is {\em $\mc{F}$-free} if it contains no copy of a graph in $\mc{F}$ as a subgraph. A cornerstone of extremal graph theory is the study of the {\em Turán number} $ex(n,\mc{F})$, the maximum number of edges in an $\mc{F}$-free graph on $n$ vertices. Define the {\em Zarankiewicz number} $z(n,\mc{F})$ to be the maximum number of edges in an $\mc{F}$-free {\em bipartite} graph on $n$ vertices. Let $C_k$ denote a cycle of length $k$, and let $\mc{C}_k$ denote the set of cycles $C_{\ell}$, where $3 \le \ell \leq k$ and $\ell$ and $k$ have the same parity. Erdős and Simonovits conjectured that for any family $\mc{F}$ consisting of bipartite graphs there exists an odd integer $k$ such that $ex(n,\mc{F} \cup \mc{C}_k) \sim z(n,\mc{F})$. They proved this when $\mc{F}={C_4}$ by showing that $ex(n,\{C_4,C_5\}) \sim z(n,C_4)$. In this paper, we extend this result by showing that if $\ell \in \{2,3,5\}$ and $k > 2\ell$ is odd, then ${ex(n,\mc{C}_{2\ell} \cup {C_k}) \sim z(n,\mc{C}_{2\ell})$. Furthermore, if $k > 2\ell + 2$ is odd, then for infinitely many $n$ we show that the extremal $\mc{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-free graphs are bipartite incidence graphs of generalized polygons. We observe that this exact result does not hold for any odd $k < 2\ell$, and furthermore the asymptotic result does not hold when $(\ell,k)$ is $(3,3)$, $(5,3)$ or $(5,5)$. Our proofs make use of pseudorandomness properties of nearly extremal graphs that are of independent interest.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：当$\ell \notin \{2,3,5\}$时，确定偶圈$\mathcal{C}_{2\ell}$的Turán数$\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$，通过研究禁止额外奇圈的影响。
• 扩展Erdős-Simonovits猜想，该猜想认为在二分图族中添加一个奇圈$C_k$，可使极值边数减少至与Zarankiewicz数$\mathrm{z}(n,\mathcal{F})$一致。
• 建立一个稳定性定理，表明近乎极值的$\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由图具有伪随机性且为二分图，其结构与广义多边形的关联图极为相似。
• 通过证明当$k > 2\ell + 2$时，极值图对无限多个$n$是广义多边形的二分关联图，提供对极值图结构的深入洞察。
• 通过展示该猜想在小$k$时（如$\ell=3$或$5$时$k=3$）不成立，揭示其局限性，并说明在这些情况下渐近结果不成立。

提出的方法

• 利用近乎极值图的伪随机性性质，控制邻域增长与色数，结合谱论与组合论证。
• 采用顶点删除过程以确保最小度条件，从而可应用特征值与子图计数技术。
• 采用基于距离的邻域扩展论证，以界定邻域$N_r(v)$的大小，并证明这些集合所诱导的子图具有有界色数。
• 利用当$r \leq 2\ell$时，$G[N_r(v)]$的平均度小于$2k$，从而其色数至多为$2k$，并结合基于奇偶性的独立集性质，以界定$\chi(G)$。
• 应用先前工作中伪随机性引理的非二分版本，推导出特征值集中与边分布结果。
• 利用有限几何中的极值图构造——特别是广义多边形的关联图——以建立紧的下界，并验证渐近相等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$k > 2\ell$为奇数时，禁止单个奇圈$C_k$是否可使$\mathcal{C}_{2\ell}$-自由图的极值边数减少至与Zarankiewicz数$\mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$一致？
• RQ2 当$\ell \in \{2,3,5\}$时，Erdős-Simonovits猜想是否可对$\mathcal{F} = \mathcal{C}_{2\ell}$成立？对$k$的必要条件是什么？
• RQ3 近乎极值的$\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由图是否具有伪随机性且为二分图？其结构是否与广义多边形的关联图相似？
• RQ4 在何种条件下渐近等式$\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}) \sim \mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$不成立？为何在小$k$时会出现反例？
• RQ5 能否以最小度与圈长为参数，界定近乎极值图的色数？这对其结构意味着什么？

主要发现

• 当$\ell \in \{2,3,5\}$且$k > 2\ell$为奇数时，Turán数满足$\mathrm{ex}(n,\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}) \sim \mathrm{z}(n,\mathcal{C}_{2\ell})$，从而在该情况下证实了Erdős-Simonovits猜想。
• 任何平均度为$d = \Theta(n^{1/\ell})$的$\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由图，均包含一个至少具有$d^{\ell+1} - o(n^{1+1/\ell})$条边的二分子图。
• 当$d \geq (1+o(1))(n/2)^{1/\ell}$时，平均度满足$d \sim (n/2)^{1/\ell}$，且极值图中的边数满足$e(G) \sim (n/2)^{1+1/\ell}$。
• 当$k > 2\ell + 2$且对无限多个$n$时，极值的$\mathcal{C}_{2\ell} \cup \{C_k\}$-自由图为广义多边形的二分关联图。
• 当$k < 2\ell$时结果不成立，且当$(\ell,k) \in \{(3,3),(5,3),(5,5)\}$时，渐近结果不成立，表明$k > 2\ell$条件的必要性。
• 近乎极值图的色数有界：$\chi(G) < (4k)^{\ell+1}/c^\ell$，其中$c$为与最小度相关的常数，表明其结构具有规则性。