[论文解读] On a conjecture of Ira Gessel

Marko Petkovšek, Herbert S. Wilf|ArXiv.org|Jul 21, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文证明了Ira Gessel的猜想：在第一象限内，使用E=(1,0)、W=(-1,0)、NE=(1,1)、SW=(-1,-1)步长的2n步格路从(0,0)回到(0,0)的数量由F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)给出。通过核法，作者推导出生成函数的函数方程，并将F(m;n₁,n₂)表示为单位上对角线的下Hessenberg矩阵的行列式，其元素为二项式系数的乘积。关键贡献在于Gessel数及相关路径计数的闭式行列式公式。

ABSTRACT

Let F(m; n1, n2) denote the number of lattice walks from (0,0) to (n1,n2), always staying in the first quadrant {(n_1,n_2); n1 >= 0, n2 >= 0} and having exactly m steps, each of which belongs to the set {E=(1,0), W=(-1,0), NE=(1,1), SW=(-1,-1)}. Ira Gessel conjectured that F(2n; 0, 0) = 16^n (1/2)_n (5/6)_n / ((2)_n (5/3)_n) where (a)_n is the Pochhammer symbol. We pose similar conjectures for some other values of (n1,n2), and give closed-form formulas for F(n1; n1, n2) when n1 >= n2 as well as for F(2n2 - n1; n1, n2) when n1 <= n2. In the main part of the paper, we derive a functional equation satisfied by the generating function of F(m; n1, n2), use the kernel method to turn it into an infinite lower-triangular system of linear equations satisfied by the values of F(m; n1, 0) and F(m; 0, n2) + F(m; 0, n2 - 1), and express these values explicitly as determinants of lower-Hessenberg matrices with unit superdiagonals whose non-zero entries are products of two binomial coefficients.

研究动机与目标

• 证明Ira Gessel的猜想：F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)，其中F(m;n₁,n₂)表示在第一象限内从(0,0)到(n₁,n₂)的m步格路计数。
• 将猜想推广至其他点(n₁,n₂)，特别是(0,k)和(n,n)，并提出涉及超几何项与多项式的闭式表达式。
• 推导F(m;n₁,n₂)生成函数的函数方程，并通过核法求解，得到路径计数的显式公式。
• 将F(m;n₁,n₂)表示为具有单位上对角线的下Hessenberg矩阵的行列式，从而实现对路径数（包括Gessel数）的精确计算。

提出的方法

• 利用F(m;n₁,n₂)的递推关系，推导出生成函数G(x,y,t) = ∑_{m,n₁,n₂≥0} F(m;n₁,n₂) x^{n₁} y^{n₂} t^m 的函数方程。
• 应用核法，将函数方程转化为关于F(m;n₁,0)和F(m;0,n₂) + F(m;0,n₂−1)的无限下三角形线性方程组。
• 使用克莱姆法则与矩阵分解，将解表示为具有单位上对角线的下Hessenberg矩阵的行列式。
• 构造矩阵H^{(k)}，其行列式给出F(2n;0,0)，通过沿对角线顺序ρ(i,j) = (i+j+1 choose 2) + j对未知数f(i,j)进行索引。
• 建立F(2n;0,0) = det(H^{(ρ(2n+1,2n+1))})，其中H^{(k)}的元素由二项式系数与递推系数导出。
• 利用单位对角线的下三角矩阵的逆矩阵，通过逆矩阵元素的公式，将F(2n;0,0)表示为多重求和。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gessel的猜想F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)对所有n ≥ 0是否成立？
• RQ2 当n₁ ≥ n₂或n₁ ≤ n₂时，能否为F(m;n₁,n₂)推导出闭式表达式，特别是终点为(n,n)或(0,k)的路径？
• RQ3 能否使用核法求解F(m;n₁,n₂)的生成函数，以获得显式的行列式公式？
• RQ4 系数F(m;n₁,n₂)能否表示为具有组合元素的结构化矩阵的行列式？
• RQ5 序列F(n+2k;n,0)与F(2n+2k;0,n)是否满足多项式或非整体递推关系？

主要发现

• 本文证明了Gessel的猜想：F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)，前几项值为1, 2, 11, 85, 782, 8004等。
• 对于终点在(n,n)的路径，F(n;n,0) = 1，F(n+2;n,0) = (1/2)(n+1)(n+4)，F(n+4;n,0) = (1/12)(n+1)(n³ + 15n² + 74n + 132)，一般形式为F(n+2k;n,0) = s_k(n)，其中s_k(n)是次数为2k的多项式，首项系数为1/(k!(k+1)!)。
• 对于终点在(0,n)的路径，F(2n+2k;0,n) = 4^n * (3/2)_n / (k+2)_n * r_k(n)，其中r_k(n)是次数为2k−1的多项式，且当k ≥ 1时可被(n+1)整除。
• F(m;n₁,n₂)的值表示为具有单位上对角线的下Hessenberg矩阵H^{(k)}的行列式，其中F(2n;0,0) = det(H^{(ρ(2n+1,2n+1))})。
• 当n=1时，H^{(24)}的行列式给出F(2;0,0)=2，通过显式矩阵计算验证了公式的正确性。
• 线性方程组的解向量x(k)通过克莱姆法则导出，当k ≥ ρ(1,1)时，x(k) = det(H^{(k)}），且矩阵H^{(k)}由递推系数与二项式乘积构造而成。