[论文解读] On a continued fraction expansion for Euler's constant

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出了一种利用二阶非齐次线性递推（系数为多项式）并基于 Meijer G-函数与超几何型级数推导出的欧拉常数 γ 的新连分数展开。该构造产生了一个非简单连分数，其收敛速度为次指数级，为 γ 提供了一套新颖的有理逼近框架，具有显式的有理系数，并展现出可推广的连分数收敛项模式。

ABSTRACT

Recently, A. I. Aptekarev and his collaborators found a sequence of rational approximations to Euler's constant $γ$ defined by a third-order homogeneous linear recurrence. In this paper, we give a new interpretation of Aptekarev's approximations in terms of Meijer $G$-functions and hypergeometric-type series. This approach allows us to describe a very general construction giving linear forms in 1 and $γ$ with rational coefficients. Using this construction we find new rational approximations to $γ$ generated by a second-order inhomogeneous linear recurrence with polynomial coefficients. This leads to a continued fraction (though not a simple continued fraction) for Euler's constant. It seems to be the first non-trivial continued fraction expansion convergent to Euler's constant sub-exponentially, the elements of which can be expressed as a general pattern. It is interesting to note that the same homogeneous recurrence generates a continued fraction for the Euler-Gompertz constant found by Stieltjes in 1895.

研究动机与目标

• 开发一种基于超几何型级数与 Meijer G-函数的新方法，用于对欧拉常数 γ 进行有理逼近。
• 推导出一个非简单连分数展开式，用于表示 γ，且其收敛速度为次指数级。
• 利用递推关系，推广构造 1 和 γ 的有理系数线性形式。
• 建立该递推关系与此前由 Stieltjes 研究过的欧拉-冈珀茨常数之间的联系。
• 利用 Zeilberger 的对称望远镜算法与正交多项式，给出连分数系数的显式公式。

提出的方法

• 作者通过 Meijer G-函数与超几何级数重新诠释 Aptekarev 的三阶递推逼近。
• 他们推导出一个具有多项式系数的二阶非齐次线性递推，用于生成对 γ 的有理逼近。
• 通过类似行列式的序列 $ \mathfrak{d}_n = p_{n-1}q_n - p_n q_{n-1} $ 构造连分数，确保分母非零。
• 应用等价变换，使用 $ \rho_n = \frac{n\Delta_{n-1}}{2} $ 简化连分数的系数。
• 从行列式关系与原始递推关系出发，推导出 $ \Delta_n $ 的递推关系，从而获得闭式模式。
• 利用 Zeilberger 的对称望远镜算法验证并推导出相关序列的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有多项式系数的二阶非齐次线性递推是否能生成对欧拉常数 γ 的有理逼近？
• RQ2 能否构造一个具有系数一般模式的非简单连分数，用于表示 γ？
• RQ3 Meijer G-函数与超几何级数如何被用于重新诠释对 γ 的现有有理逼近？
• RQ4 用于生成对 γ 逼近的递推关系与用于欧拉-冈珀茨常数的递推关系之间存在何种联系？
• RQ5 行列式序列 $ \mathfrak{d}_n $ 是否可用于推导出具有有理系数且收敛速度为次指数级的连分数？

主要发现

• 构造出一种新的欧拉常数 γ 的连分数，其收敛速度为次指数级，且系数可通过一般模式表达。
• 该连分数是非简单的，由具有多项式系数的二阶非齐次线性递推生成。
• 连分数的系数 $ a_n^* $ 与 $ b_n^* $ 显式给出为：$ a_n^* = -\frac{(n-1)^2}{4}\Delta_n\Delta_{n-2} $ 与 $ b_n^* = n^2\Delta_{n-1} + \frac{(n-1)(n-2)}{2}q_{n-2} $，其中 $ n \geq 6 $。
• 序列 $ \Delta_n $ 满足一个具有多项式系数的三阶线性递推，证实了其系数的整数性与符号模式。
• 行列式序列 $ \mathfrak{d}_n $ 对所有 $ n \geq 0 $ 均非零，确保连分数定义良好且收敛。
• 该构造可推广，用于生成具有有理系数的 1 和 γ 的线性形式，为 γ 的有理逼近提供一种新框架。