[论文解读] On a Counting Theorem of Skriganov

Niclas Technau, Martin Widmer|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文将斯克里加诺夫的格点计数定理推广至非齐次膨胀的对齐盒子，适用于单模弱可接受格，引入了依赖于对偶格函数 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ 的误差项。证明了当格的秩为2时，$\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$，但指出在更高秩时该等式不成立，并将结果应用于有理逼近中分母有界的 Diophantine 逼近的渐近计数。

ABSTRACT

We prove a counting theorem concerning the number of lattice points for the dual lattices of weakly admissible lattices in an inhomogeneously expanding box, which generalises a counting theorem of Skriganov. The error term is expressed in terms of a certain function $ν(Γ^\perp,\cdot)$ of the dual lattice $Γ^\perp$, and we carefully analyse the relation of this quantity with $ν(Γ,\cdot)$. In particular, we show that $ν(Γ^\perp,\cdot)=ν(Γ,\cdot)$ for any unimodular lattice of rank 2, but that for higher ranks it is in general not possible to bound one function in terms of the other. Finally, we apply our counting theorem to establish asymptotics for the number of Diophantine approximations with bounded denominator as the denominator bound gets large.

研究动机与目标

• 将斯克里加诺夫关于齐次膨胀盒子中格点计数定理推广至非齐次膨胀的对齐盒子。
• 分析对偶格之间 $\nu(\Gamma, \cdot)$ 与 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ 的关系，特别是当 $\Gamma$ 为单模且弱可接受时的情形。
• 在分母有界条件下，建立 Diophantine 逼近数量的渐近估计，随着界值增大。
• 在计数公式中提供显式的误差项，其依赖于对偶格的 $\nu$-函数，从而改进了先前的结果。

提出的方法

• 引入函数 $\nu(\Gamma, \rho)$，定义为 $\Gamma$ 中非零格向量在 $\ell^2$-范数小于 $\rho$ 的条件下，$|x_1 \cdots x_n|$ 的最小值，以捕捉格的算术结构。
• 对对角缩放矩阵 $\mathcal{T}$，定义 $T = (t_1 \cdots t_n)^{1/n} / \min\{t_1, \dots, t_n\}$，该量控制对齐盒子 $B = \mathcal{T}[0,1]^n + y$ 的膨胀速率。
• 建立定理1：以 $\nu(\Gamma^\perp, T^\star)$ 和另一项 $\nu(\Gamma^\perp, 2^R T)$（其中 $R$ 依赖于 $\rho^n / \nu(\Gamma^\perp, \rho T)$）为参数，给出 $|\#(\Gamma \cap B) - \mathrm{vol}(B)|$ 的精确上界。
• 证明当 $\Gamma$ 为秩-2单模格时，$\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$，利用存在某些稀疏矩阵的 $S, R \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ 的条件。
• 证明在更高秩时，$\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ 无法普遍地用 $\nu(\Gamma, \cdot)$ 有界，揭示了对偶格行为中存在根本性的非对称性。
• 将主要计数结果应用于 Diophantine 逼近，通过将良好逼近的数量与变换后盒子中的格点联系起来，利用 $\nu$-函数控制误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 斯克里加诺夫关于齐次膨胀盒子中格点计数的定理能否推广至弱可接受格的非齐次膨胀对齐盒子？
• RQ2 对偶格的函数 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ 与 $\nu(\Gamma, \cdot)$ 之间有何关系，特别是在高维情形下？
• RQ3 在何种条件下 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$ 成立，而何时该等式无法实现？
• RQ4 是否可利用改进的计数误差项推导出分母有界时 Diophantine 逼近数量的渐近公式，且随着界值增大？
• RQ5 误差项对底层格的 Diophantine 性质的定量依赖关系如何，特别是通过 $\nu$-函数体现？

主要发现

• 本文建立了对非齐次膨胀对齐盒子中格点的精确计数估计：$\left|\#(\Gamma \cap B) - \mathrm{vol}(B)\right| \ll \frac{1}{\nu(\Gamma^\perp, T^\star)}\left(\frac{\mathrm{vol}(B)^{1-1/n}}{\sqrt{\rho}} + \frac{R^{n-1}}{\nu(\Gamma^\perp, 2^R T)}\right)$，其中 $R = n^2 + \log(\rho^n / \nu(\Gamma^\perp, \rho T))$。
• 对于秩-2单模格，$\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$ 成立，这使得与先前结果的直接比较成为可能，并简化了误差分析。
• 在更高秩（$n \geq 3$）时，通常无法用 $\nu(\Gamma, \cdot)$ 有界 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$，表明在这些计数函数的背景下，格与其对偶之间存在结构性的非对称性。
• 将主要计数结果应用于 Diophantine 逼近，得到渐近式 $|N_{\alpha,y}(\varepsilon,t) - \varepsilon t| \ll \frac{\log E}{\phi^2(E')}\cdot \frac{1}{\phi^2(E')}$，其中 $E$ 和 $E'$ 依赖于 Diophantine 逼近函数 $\phi$。
• 当 $\Gamma$ 为可接受格（即 $\mathrm{Nm}(\Gamma) > 0$）时，误差项简化为 $O(\log(\mathrm{vol}(B))^{n-1})$，从而将斯克里加诺夫的原始结果作为特例恢复。
• 本文构造了弱可接受格 $\Gamma$ 但其对偶 $\Gamma^\perp$ 不可接受的例子，表明弱可接受性条件在对偶下一般不保持。