[论文解读] On A Covariant Hamiltonian Description of Palatini's Gravity on Manifolds with Boundary

Alberto Ibort, Amelia Spivak|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Algebraic and Geometric Analysis被引用 6

一句话总结

本文利用多辛几何，在带有边界的流形上提出了Palatini引力的协变哈密顿形式化，表明约化相空间是一个辛流形，其包含一个特殊各向同性子流形，编码了边界数据。该方法将Palatini引力视为在拓扑极限下的约束规范场论，通过边界约化与规范对称性，实现了对物理自由度的几何描述。

ABSTRACT

A covariant Hamiltonian description of Palatini's gravity on manifolds with boundary is presented. Palatini's gravity appears as a gauge theory satisfying a constraint in a certain topological limit. This approach allows the consideration of non-trivial topological situations. The multisymplectic framework for first-order covariant Hamiltonian field theories on manifolds with boundary, developed in [Ib15], enables analysis of the system at the boundary. The reduced phase space of the system is determined to be a symplectic manifold with a distinguished isotropic submanifold corresponding to the boundary data of the solutions of the Euler-Lagrange equations.

研究动机与目标

• 发展一种明显具有广义协变性的Palatini引力哈密顿描述，不依赖于时空叶状结构或度规与位移变量。
• 将时空边界作为相空间中的基本结构，与微分同胚不变性保持一致。
• 表明Palatini引力的物理相空间源于边界数据的辛约化，其约束由体积分量的Palatini约束导出。
• 建立一个与正则量子化兼容的几何框架，尤其对环状量子引力具有重要意义。

提出的方法

• 采用在[Ib15]中发展的、适用于带有边界的流形上的一阶协变哈密顿场论的多辛形式化。
• 将Palatini引力建模为在拓扑极限下的约束杨-米尔斯型规范场论，其中在相空间上施加Palatini约束 $P = e \wedge e$。
• 应用预辛约束算法（PCA）分析边界处的约束，并识别约化相空间。
• 通过边界处的规范变换群 $\mathcal{G}_{\partial M}$ 执行Marsden-Weinstein约化，得到一个辛商空间。
• 将边界数据识别为约化辛相空间内的一个各向同性子流形。
• 利用矩映射与余切提升，刻画规范对称性及其在边界场上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持微分同胚不变性的前提下，于带有边界的流形上一致地定义Palatini引力的协变哈密顿形式化？
• RQ2 边界在决定Palatini引力物理相空间中的作用是什么？其几何编码方式如何？
• RQ3 在存在边界的条件下，Palatini约束 $e \wedge e = 0$ 如何约束相空间结构？
• RQ4 Palatini引力的约化相空间是否可描述为通过边界处规范约化得到的辛流形？
• RQ5 边界数据与理论中物理自由度之间的关系是什么？

主要发现

• Palatini引力的约化相空间是通过边界数据在规范群 $\mathcal{G}_{\partial M}$ 作用下的Marsden-Weinstein约化得到的辛流形。
• 物理解编码于约化相空间的一个各向同性子流形中，对应于Euler-Lagrange方程解的边界数据。
• 边界余切丛 $T^{*}\mathcal{F}_{\partial M}$ 支持一个预辛结构，且约束面为共辛面，允许一致约化。
• 矩映射 $\mathcal{J}(a,p) = -d_a^*p$ 将约束面 $\mathcal{J}^{-1}(0)$ 识别为规范作用的核，从而实现辛商构造。
• 系统的物理自由度完全由边界决定，体积分量约束 $e \wedge e = 0$ 在定义相空间几何中起核心作用。
• 该形式化避免使用度规与位移变量，且无需假设 $\mathbb{R} \times S$ 的时空拓扑，因此比ADM形式更一般。