[论文解读] On a diffuse interface model of tumor growth

Sergio Frigeri, Maurizio Grasselli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文建立了非定常界面肿瘤生长模型弱解的存在性、唯一性及长期行为，该模型通过增殖函数耦合Cahn-Hilliard方程与反应-扩散方程。主要贡献在于在一般势函数与增殖函数条件下，证明了有限能量相空间中解的适定性及全局吸引子的存在性，且解在有限时间内实现正则化。

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model of tumor growth proposed by A.~Hawkins-Daruud et al. This model consists of the Cahn-Hilliard equation for the tumor cell fraction $φ$ nonlinearly coupled with a reaction-diffusion equation for $ψ$, which represents the nutrient-rich extracellular water volume fraction. The coupling is expressed through a suitable proliferation function $p(φ)$ multiplied by the differences of the chemical potentials for $φ$ and $ψ$. The system is equipped with no-flux boundary conditions which entails the conservation of the total mass, that is, the spatial average of $φ+ψ$. Here we prove the existence of a weak solution to the associated Cauchy problem, provided that the potential $F$ and $p$ satisfy sufficiently general conditions. Then we show that the weak solution is unique and continuously depends on the initial data, provided that $p$ satisfies slightly stronger growth restrictions. Also, we demonstrate the existence of a strong solution and that any weak solution regularizes in finite time. Finally, we prove the existence of the global attractor in a phase space characterized by an a priori bounded energy.

研究动机与目标

• 建立由耦合Cahn-Hilliard方程与反应-扩散方程控制的非定常界面肿瘤生长模型弱解的存在性。
• 在增殖函数的生长条件稍强时，证明弱解的唯一性及其对初值的连续依赖性。
• 证明弱解在有限时间内可正则化为强解。
• 在由先验能量有界定义的相空间中，建立全局吸引子的存在性。
• 将非定常界面肿瘤模型的数学分析拓展至先前工作所要求的黏性正则化或有界增殖函数之外的范围。

提出的方法

• 构建一个非定常界面模型，其中ϕ（肿瘤细胞分数）和ψ（富含营养的细胞外水分数）分别通过Cahn-Hilliard方程与反应-扩散方程演化。
• 引入增殖函数p(ϕ)，通过ϕ与ψ的化学势实现耦合，且要求p满足多项式增长条件。
• 采用Galerkin逼近方法构造近似解，依赖于势函数F的强制性、次线性逼近Fm。
• 利用能量恒等式与统一Gronwall引理推导先验估计，从而取极限得到弱解。
• 应用椭圆正则性与逐步提升论证，证明弱解在有限时间内获得更高正则性。
• 在有限能量相空间WM上定义动力系统，并证明存在紧致吸收集，进而通过闭半群的一般定理得出全局吸引子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，非定常界面肿瘤模型在势函数F与增殖函数p下存在有限能量的弱解？
• RQ2 当p′满足较弱增长限制时，弱解是否唯一，且是否对初值连续依赖？
• RQ3 即使无黏性正则化，是否可证明弱解在有限时间内正则化为强解？
• RQ4 该模型生成的动力系统在能量有界的相空间中是否具有全局吸引子？
• RQ5 系统的长期行为如何通过紧致性与一致有界性来刻画？

主要发现

• 在一般条件下，柯西问题存在弱解：F为C²且λ1-凸，满足|F′| ≤ λ2F + λ3，且p满足多项式增长条件。
• 当p′满足稍强的增长限制时，证明了解的唯一性及其对初值的连续依赖性。
• 任意弱解在有限时间内正则化，对t > 0属于H³(Ω) × H¹(Ω)中的强解。
• 在有限能量相空间WM上，解半群{SM(t)}t≥0适定，并存在全局吸引子。
• 全局吸引子在WM中紧致，并吸引相空间中所有有界集，且‖ϕ‖H³(Ω)、‖ψ‖H¹(Ω)及能量相关范数具有一致有界性。
• 通过将统一Gronwall引理应用于能量型泛函Φ，证明了对t ≥ 1，‖∇µ‖²、‖∇ψ‖²与‖∆ϕ‖²一致有界，从而完成吸引子存在性的证明。