[论文解读] On a family of frames for Krein spaces

Juan I. Giribet, Alejandra Maestripieri+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文引入了克雷因空间中的$J$-框架——与不定内积相容的框架，其推广了$J$-正交基。$J$-框架诱导出一对极大一致$J$-定号子空间，具有相反的正定性，并实现了一种不定重构公式，将框架理论扩展至不定内积空间，同时保留了希尔伯特空间中的关键性质，如框架算子和对偶对。

ABSTRACT

A definition of frames for Krein spaces is proposed, which extends the notion of $J$-orthonormal basis of Krein spaces. A $J$-frame for a Krein space $(\HH, \K{\,}{\,})$ is in particular a frame for $\HH$ in the Hilbert space sense. But it is also compatible with the indefinite inner product $\K{\,}{\,}$, meaning that it determines a pair of maximal uniformly $J$-definite subspaces with different positivity, an analogue to the maximal dual pair associated to a $J$-orthonormal basis. Also, each $J$-frame induces an indefinite reconstruction formula for the vectors in $\HH$, which resembles the one given by a $J$-orthonormal basis.

研究动机与目标

• 将框架理论从希尔伯特空间扩展至克雷因空间，通过定义与不定内积相容的新一类框架。
• 通过引入保持与基本对称性$J$结构相容性的$J$-框架，推广$J$-正交基。
• 在克雷因空间中建立类似于希尔伯特空间框架重构的不定重构公式，但适配于不定度量。
• 通过极大一致$J$-定号子空间上的正定性和不变性条件，刻画$J$-框架算子。
• 证明$J$-框架诱导出一对极大一致$J$-定号子空间，具有相反正定性，推广了$J$-正交基的对偶结构。

提出的方法

• 将$J$-框架定义为克雷因空间中的贝塞尔族，使得合成算子将指标集的正负谱子空间映射至$\mathcal{H}$中的极大一致$J$-正定和$J$-负定子空间。
• 使用合成算子$T: \ell_2(I) \to \mathcal{H}$，并将其分解为$T_+ = T P_+$和$T_- = T(I - P_+)$，其中$P_+$是到$\ell_2(I_+)$的正交投影，且$I_+ = \{i : [f_i,f_i] > 0\}$。
• 证明$R(T_+)$和$R(T_-)$分别为极大一致$J$-正定和$J$-负定子空间，从而通过和分解确保框架张成整个空间。
• 建立不定重构公式：$f = \sum_{i \in I} \sigma_i [f, g_i] f_i = \sum_{i \in I} \sigma_i [f, f_i] g_i$，其中$\sigma_i = \text{sgn}[f_i,f_i]$，推广了$J$-正交基的公式。
• 通过$J$-自伴性和正定性条件刻画$J$-框架算子：在极大$J$-正定子空间$\mathcal{T}$上满足$[Sf,f] \geq 0$，在$S(\mathcal{T})^{[\bot]}$上满足$[Sg,g] \leq 0$，且$S$可逆，满足$\text{ind}_\pm(S) = \dim(\mathcal{H}_\pm)$。
• 证明$J$-框架算子是满足特定正定性和不变性条件的可逆$J$-自伴算子，并表明并非所有此类算子都是$J$-框架算子，通过反例说明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持与不定内积兼容的前提下，将框架理论扩展至克雷因空间？
• RQ2 框架需满足何种结构条件，才能诱导出一对极大对偶的、一致$J$-定号子空间，且具有相反正定性？
• RQ3 能否在克雷因空间中建立类似于希尔伯特空间框架重构的重构公式，但适配于不定度量？
• RQ4 在正定性、不变性和谱性质方面，$J$-框架算子有哪些刻画？
• RQ5 哪些$J$-自伴可逆算子是$J$-框架算子？它们与非$J$-框架$J$-自伴算子之间的区分条件是什么？

主要发现

• 一个$J$-框架是克雷因空间中的贝塞尔族，其合成算子分别将序列空间的正负指标子空间映射至$\mathcal{H}$中的极大一致$J$-正定和$J$-负定子空间。
• 合成算子正负部分的像$R(T_+)$和$R(T_-)$构成一对极大对偶的、一致$J$-定号子空间，具有相反正定性，推广了$J$-正交基的对偶性。
• 每个$J$-框架诱导出一个不定重构公式：$f = \sum_{i \in I} \sigma_i [f, g_i] f_i = \sum_{i \in I} \sigma_i [f, f_i] g_i$，其中$\sigma_i = \text{sgn}[f_i,f_i]$，推广了$J$-正交基的重构公式。
• $J$-框架算子$S$被刻画为可逆$J$-自伴算子，存在一个极大一致$J$-正定子空间$\mathcal{T}$，使得$S(\mathcal{T})$也是极大一致$J$-正定，对所有$f \in \mathcal{T}$满足$[Sf,f] \geq 0$，对所有$g \in S(\mathcal{T})^{[\bot]}$满足$[Sg,g] \leq 0$，且该条件是必要且充分的。
• 并非所有满足$\text{ind}_\pm(S) = \dim(\mathcal{H}_\pm)$的可逆$J$-自伴算子都是$J$-框架算子；给出一个反例，其中$S$将$J$-正定向量映射至$J$-负定向量，违反了正定性条件。
• 一个$J$-框架的合成算子可分解为严格正和负算子：当且仅当$T$的核与$\ell_2(I_+)$和$\ell_2(I_-)$分别平凡相交时，$T_+$和$T_-$为严格正和负算子。