[论文解读] On a finite element approximation of the Stokes problem under leak or slip boundary conditions of friction type

Takahito Kashiwabara|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

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一句话总结

本文提出了一种用于具有摩擦型滑移或渗漏边界条件的Stokes方程的有限元方法，采用变分不等式公式以确保解的存在性与唯一性。在正则性条件下，建立了高达$O(h^2)$的收敛速率，并提出了一种Uzawa型迭代算法用于数值求解，数值例子验证了最优收敛性。

ABSTRACT

A finite element approximation of the Stokes equations under a certain nonlinear boundary condition, namely, the slip or leak boundary condition of friction type, is considered. We propose an approximate problem formulated by a variational inequality, prove an existence and uniqueness result, present an error estimate, and discuss a numerical realization using an iterative Uzawa-type method. Several numerical examples are provided to support our theoretical results.

研究动机与目标

• 为具有非线性摩擦型边界条件的Stokes问题建立全面的有限元理论。
• 为具有滑移或渗漏摩擦型边界条件的Stokes方程的有限元逼近建立存在性、唯一性及误差估计。
• 设计并分析一种用于求解离散变分不等式问题的Uzawa型迭代算法。
• 通过在各种参数设置下的数值实验验证理论收敛速率。
• 解决渗漏边界条件下压力非唯一性的问题及其对误差估计的影响。

提出的方法

• 对滑移和渗漏摩擦型边界条件的连续问题，采用变分不等式进行公式化。
• 在二维多边形区域中，使用P2/P1有限元对偶（Taylor-Hood元）对问题进行离散化。
• 通过变分不等式理论，证明SBCF和LBCF离散解的存在性与唯一性。
• 推导误差估计：在$H^{1+\epsilon}$正则性下为$O(h^{\text{min}{\epsilon,1/4\u007d})$，在附加切向速度符号条件下可改进为$O(h^{\text{min}\u007b\epsilon,1\u007d})$。
• 提出一种Uzawa型迭代算法以求解离散变分不等式问题，并证明迭代序列收敛于解。
• 通过在参考点处固定压力常数，处理LBCF中的压力非唯一性问题，以实现误差比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有摩擦型滑移或渗漏边界条件的Stokes方程，严格地构造并分析有限元方法？
• RQ2 在如此非线性的边界条件下，有限元逼近的收敛速率是多少？
• RQ3 如何通过迭代算法高效且可靠地求解离散问题？
• RQ4 在渗漏边界条件情况下，压力场中存在一个常数项，这对误差分析有何影响？
• RQ5 在适当的正则性及切向速度符号条件下，能否实现最优收敛速率？

主要发现

• 在适当的有限元离散化与变分不等式公式化下，滑移与渗漏边界条件的离散问题均存在唯一解。
• 滑移边界条件的误差估计为$O(h^{\text{min}\u007b\epsilon,1\u007d})$，在切向速度符号条件有利时可提升至$O(h^{\epsilon})$，当$\epsilon=2$时达到最优$O(h^2)$收敛。
• 对于渗漏边界条件，由于压力常数的不确定性，误差估计为$O(h^{\text{min}\u007b\epsilon/2,1/4\u007d})$，但当正确处理压力常数时，可提升至$O(h^2)$。
• 数值实验验证了理论收敛速率，当与$N=120$的参考解比较时，SBCF与LBCF均表现出$O(h^2)$收敛。
• Uzawa型迭代算法收敛于离散解，其收敛速度取决于问题参数与初始猜测，数值测试中的迭代次数表明了这一点。
• 边界上的拉格朗日乘子$\lambda_h$满足：若$u_h(M)=0$，则$|\lambda_h(M)| \leq 1$；否则$\lambda_h(M) = \pm 1$，与理论边界一致。