[论文解读] On a fully fuzzy framework for minimax mixed integer linear programming

Manuel Arana‐Jiménez, Víctor Blanco|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Facility Location and Emergency Management被引用 2

一句话总结

本文提出了一种完全模糊的最小最大混合整数线性规划框架，通过引入模糊数的最小上界概念，将完全模糊的最小最大问题重新表述为等价的三目标混合整数规划问题。该方法将经典最小最大优化扩展至模糊环境，应用于容量限制的中心设施选址问题，表明模糊解在结构和成本分配上可能与清晰解显著不同。

ABSTRACT

In this work, we present a modeling framework for minimax mixed 0-1 fuzzy linear problems. It is based on extending the usual rewriting of crisp minimax problems via auxiliary variables to model the maximum of a finite set of fuzzy linear functions. We establish that the considered problem can be equivalently formulated as a multiple objective mixed integer programming problem. The framework is applied to a fully fuzzy version of the capacitated center facility location problem.

研究动机与目标

• 开发一个全面的框架，用于求解所有参数和变量均为模糊数的完全模糊最小最大混合整数线性规划问题。
• 通过模糊数算术和模糊集的结构特性，将通常应用于清晰问题的古典最小最大优化扩展至完全模糊环境。
• 为完全模糊最小最大问题建立等价的三目标混合整数规划公式，从而可应用现有的多目标优化技术。
• 将该框架应用于实际问题：在需求、容量和成本参数为模糊数的条件下，求解容量限制的中心设施选址问题。
• 证明即使目标的上界相同，模糊解在设施配置和成本分配上也可能与清晰解存在显著差异。

提出的方法

• 引入有限个模糊数集合的最小上界概念，该概念作为清晰最小最大问题中最大值的模糊对应物。
• 使用三角模糊数表示不精确的参数和变量，假设非负性，并应用标准模糊算术进行乘法和比较运算。
• 通过引入一个辅助模糊变量（代表模糊目标函数的最小上界），对完全模糊最小最大问题进行重新表述。
• 建立原始完全模糊最小最大问题与涉及模糊目标下界、中界和上界的三目标混合整数规划问题之间的等价性。
• 采用分层优化方法（如Gurobi）通过依次优化三角模糊目标的三个分量，生成模糊解。
• 将该框架应用于容量限制的中心设施选址问题，将需求、容量、设置成本和运输成本建模为三角模糊数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基于最小化一组函数最大值的古典最小最大策略，扩展到所有参数和变量均为模糊数的完全模糊环境中？
• RQ2 在最小最大问题中，最大算子的合适模糊类比是什么？其具有哪些结构特性？
• RQ3 完全模糊最小最大混合整数线性规划问题能否被重新表述为多目标混合整数规划问题？如果可以，如何实现？
• RQ4 完全模糊最小最大问题的解与清晰解相比，在设施配置和成本分配方面有何差异？
• RQ5 模糊不确定性对如容量限制的中心设施选址问题等选址问题的最优解结构有何影响？

主要发现

• 所提出的框架能够将完全模糊最小最大混合整数线性规划问题等价地重新表述为三目标混合整数规划问题，三个目标分别对应模糊目标函数的下界、中界和上界。
• 研究证明，一组模糊数的最小上界是模糊最小最大问题中最大算子的合适推广，具有明确定义的结构特性，支持该重新表述。
• 在容量限制的中心设施选址问题中，即使目标函数的上界相同，模糊解的设施配置和需求分配也与清晰解显著不同。
• 图5中的解(a)和解(b)具有相同的模糊目标值 ˜θ∗ = (1399.70, 2629.27, 3463.01)，证实最小最大目标仅依赖于上界，后者作为其余成本的约束条件。
• 模糊解并非清晰的分配方案；相反，每个设施所服务的需求量以三角模糊数表示，反映了系统中的不确定性。
• 该框架保持了原问题的NP难复杂度，但在整数变量数量固定且满足特定编码条件时，可实现多项式时间求解。