[论文解读] On a Generalised Lehmer Problem for Arbitrary Powers

Igor E. Shparlinski|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文将经典的 Lehmer 问题（关于整数与其模逆元的奇偶性）推广至任意幂次和多重剩余类。通过应用指数和估计——特别是对稀疏有理函数的有界性——该文建立了关于满足 $ n^{k_j} \bmod q $ 属于模 $ m_j $ 的指定等差数列的单位元 $ n \bmod q $ 的数量的渐近公式，误差项为 $ O(q^{1-1/s + o(1)}) $，优于先前结果中 $ O(q^{3/4 + o(1)}) $ 的误差项。

ABSTRACT

We consider a generalisation of the classical Lehmer problem about the parity distribution of an integer and its modular inverse. We use some known estimates of exponential sums to study a more general question of simultaneous distribution of the residues of any fixed number of negative and positive powers of integers in prescribed arithmetic progressions. In particular, we improve and generalise a recent result of Y. Yi and W. Zhang.

研究动机与目标

• 将经典的 Lehmer 问题（涉及 $ n $ 及其模逆元 $ \overline{n} $ 的联合奇偶性）推广至更高次幂和多重剩余条件。
• 研究固定非零整数 $ k_j $ 和 $ m_j \geq 1 $ 时，$ n^{k_j} \bmod q $ 在模 $ m_j $ 的指定等差数列中的同时分布。
• 改进此类分布问题中的先前误差界，特别是将 Yi 和 Zhang 的 $ O(q^{3/4 + o(1)}) $ 结果改进为更紧致的 $ O(q^{1-1/s + o(1)}) $ 误差项。
• 为满足多个同余条件的此类 $ n \in \mathcal{U}_q $ 的数量建立渐近公式。
• 将指数和技术——特别是稀疏有理函数的有界性——的应用范围扩展至乘法数论中的多维分布问题。

提出的方法

• 利用加法特征的正交性及 Ramanujan 和，将满足模 $ m_j $ 剩余条件的解的数量表示出来。
• 应用文献 [8] 中的关键指数和估计（引理 2），并将其推广至任意 $ d = \gcd(\lambda_1, \dots, \lambda_s) $，得到形如 $ \sum_{n \in \mathcal{U}_q} \mathbf{e}_q(\sum \lambda_j n^{k_j}) \ll d^{1/s} q^{1 - 1/s + o(1)} $ 的有界性。
• 利用中国剩余定理和模素数幂的指数和的乘法分解，将问题约化为局部估计。
• 应用几何和的界：$ \left| \sum_{u=0}^U \mathbf{e}_\ell(\mu u) \right| \ll \min\{U, \ell/|\mu|\} $，及其 $ \ell $-和估计 $ \sum \ll \ell \log \ell $。
• 对 $ \gcd(\lambda_1, \dots, \lambda_s) = d $ 进行 dyadic 分解，然后利用除数函数估计 $ \sum_{d \mid q} 1 = q^{o(1)} $ 控制总贡献。
• 结合特征和技巧与模 $ q $ 乘法群的结构，利用 $ \gcd(m_j, q) = 1 $ 的条件，确保剩余分布的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ k $，能否将 $ n^k \bmod q $ 及其模逆元的分布误差项从 $ O(q^{3/4 + o(1)}) $ 改进为 $ O(q^{1/2 + o(1)}) $？
• RQ2 对于 $ s $-元组 $ (n^{k_1}, \dots, n^{k_s}) \bmod q $ 在模 $ m_1, \dots, m_s $ 的指定剩余类中的同时分布，最优误差项是什么？
• RQ3 当 $ k_j $ 为任意非零整数且 $ m_j $ 为任意满足 $ \gcd(m_j, q) = 1 $ 的模数时，$ n^{k_j} \bmod q $ 的分布行为如何？
• RQ4 稀疏有理函数的指数和估计能否被推广并应用于多维乘法特征和问题？
• RQ5 在何种条件下，满足对所有 $ j $ 有 $ n^{k_j} \equiv a_j \pmod{m_j} $ 的 $ n \in \mathcal{U}_q $ 的数量会趋近于期望的主项 $ \varphi(q)/(m_1 \cdots m_s) $，且误差可控？

主要发现

• 本文建立了渐近公式 $ N_q(\mathbf{m}, \mathbf{a}; \mathbf{k}) = \frac{1}{m_1 \cdots m_s} \varphi(q) + O(q^{1 - 1/s + o(1)}) $，对所有满足 $ \gcd(m_j, q) = 1 $ 且固定 $ \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^s $，$ k_j \neq 0 $ 的 $ \mathbf{m}, \mathbf{a} $ 均一致成立。
• 当 $ s = 2 $，$ m_1 = m_2 = 2 $，且 $ k_1 = k_2 = k $ 时，误差项从 $ O(q^{3/4 + o(1)}) $ 改进为 $ O(q^{1/2 + o(1)}) $，与经典 Lehmer 问题的界一致。
• 误差项 $ O(q^{1 - 1/s + o(1)}) $ 在最优意义下成立，因为它与稀疏有理函数指数和的最优已知界一致。
• 该方法在所有剩余类 $ a_j \bmod m_j $ 上保持一致性，只要 $ \gcd(m_j, q) = 1 $，从而保证主项恰好为预期的均匀分布值。
• 使用 [8] 中关于稀疏有理函数指数和的有界性，使得误差项仅依赖于 $ s $，而不依赖于 $ k_j $ 的具体取值，只要它们非零即可。
• 除数函数估计 $ \sum_{d \mid q} 1 = q^{o(1)} $ 在对所有 $ d = \gcd(\lambda_1, \dots, \lambda_s) $ 求和后控制总误差方面至关重要，从而导出最终的误差界。