[论文解读] On a Generalization for Quaternion Sequences

Serpil Halıcı|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文引入了霍拉姆四元数（Horadam quaternions），这是一种广义的四元数序列类，统一并扩展了已知的斐波那契、卢卡斯、佩尔和雅克布斯特定律四元数等序列。通过定义一个带有参数的二阶线性递推关系，作者推导出闭式表达的比内公式、生成函数、卡西尼恒等式、求和公式以及范数表达式，证明了所有先前研究的四元数序列都是这一通用框架下的特例。

ABSTRACT

In this study, we introduce a new classes of quaternion numbers. We show that this new classes quaternion numbers include all of quaternion numbers such as Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal, Pell-Lucas, Jacobsthal-Lucas quaternions have been studied by many authors. Moreover, for this newly defined quaternion numbers we give the generating function, norm value, Cassini identity, summation formula and their some properties.

研究动机与目标

• 将现有的斐波那契、卢卡斯、佩尔和雅克布斯特定律四元数等序列统一到一个单一的通用框架中。
• 基于具有任意初值和参数的霍拉姆递推关系，定义一类新的四元数序列——霍拉姆四元数。
• 推导这些广义四元数的基本性质，包括比内公式、生成函数、卡西尼恒等式、求和公式及范数表达式。
• 证明所有先前研究的四元数序列都是这一广义霍拉姆四元数框架下的特例。

提出的方法

• 使用递推关系 $ Q_{w,n} = W_n + iW_{n+1} + jW_{n+2} + kW_{n+3} $ 定义霍拉姆四元数，其中 $ W_n $ 遵循霍拉姆递推关系 $ W_n = pW_{n-1} + qW_{n-2} $，初值为 $ W_0 = a $，$ W_1 = b $。
• 推导 $ W_n $ 的比内公式为 $ W_n = bT_n + aqT_{n-1} $，其中 $ T_n $ 是涉及特征方程 $ x^2 - px - q = 0 $ 的根 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的广义斐波那契型函数。
• 利用底层霍拉姆序列的生成函数，建立霍拉姆四元数的生成函数。
• 通过递推关系与比内公式的代数运算，证明霍拉姆四元数的卡西尼恒等式。
• 推导范数表达式 $ Nr^2(Q_{w,n}) = \frac{1}{p^2 + 4q}(b^2A + 2abqB + a^2q^2C) $，其中 $ A, B, C $ 是 $ \alpha^n, \beta^n $ 和 $ (-q)^n $ 的显式表达式。
• 通过将 $ a, b, p, q $ 代入一般公式，验证已知四元数序列（如斐波那契、佩尔、雅克布斯特定律）为特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个单一的广义四元数序列，以统一已知的斐波那契、卢卡斯、佩尔和雅克布斯特定律四元数？
• RQ2 该广义四元数序列的闭式表达式（如比内公式、生成函数）是什么？
• RQ3 在该框架下，卡西尼恒等式与求和公式等基本恒等式如何推广？
• RQ4 广义霍拉姆四元数的范数表达式是什么？它如何退化为已知情形？
• RQ5 该广义框架能否恢复所有先前研究的四元数序列作为特例？

主要发现

• 通过调整参数 $ a, b, p, q $，霍拉姆四元数框架可广义化所有已知四元数序列，包括斐波那契、卢卡斯、佩尔、佩尔-卢卡斯、雅克布斯特定律及雅克布斯特定律-卢卡斯四元数，均为其特例。
• 霍拉姆四元数的比内公式推导为 $ Q_{w,n} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( A\underline{\alpha}\alpha^{n+1} - B\underline{\beta}\beta^{n+1} \right) $，其中 $ \underline{\alpha}, \underline{\beta} $ 为特征根的共轭。
• 霍拉姆四元数的生成函数表达为 $ G(x) = \frac{W_0 + (W_1 - pW_0)x}{1 - px - qx^2} $，扩展了底层霍拉姆序列的生成函数。
• 霍拉姆四元数的卡西尼恒等式被确立为 $ Q_{w,n}Q_{w,n-1} = Q_{w,n-1}Q_{w,n} + \text{包含范数与递推项的某表达式} $，推广了经典恒等式。
• 霍拉姆四元数的范数表达式为 $ Nr^2(Q_{w,n}) = \frac{1}{p^2 + 4q}(b^2A + 2abqB + a^2q^2C) $，其中 $ A, B, C $ 显式定义为 $ \alpha^n, \beta^n $ 和 $ (-q)^n $ 的函数，且在特例下退化为已知范数公式。
• 求和公式 $ \sum_{k=0}^{n} Q_{w,k} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( \frac{B\underline{\beta}\beta^{n+1}}{1 - \beta} - \frac{A\underline{\alpha}\alpha^{n+1}}{1 - \alpha} \right) + K $ 推广了斐波那契、佩尔与雅克布斯特定律四元数的已知求和恒等式。