[论文解读] On a higher order multi-term time-fractional partial differential equation involving Caputo-Fabrizio derivative

Sardor Pirnapasov, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种方法，通过分离变量和分部积分，将具有Caputo-Fabrizio导数的高阶多术语时间分数阶PDE简化为等价的整数阶PDE。在特定光滑性和初始条件约束下，建立了边界值问题的唯一可解性及傅里叶级数解的一致收敛性，并针对k=2的情况展示了该方法的应用。

ABSTRACT

In the present work we discuss higher order multi-term partial differential equation (PDE) with the Caputo-Fabrizio fractional derivative in time. We investigate a boundary value problem for fractional heat equation involving higher order Caputo-Fabrizio derivatives in time-variable. Using method of separation of variables and integration by parts, we reduce fractional order PDE to the integer order. We represent explicit solution of formulated problem in particular case by Fourier series.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，将具有Caputo-Fabrizio导数的高阶多术语时间分数阶PDE简化为等价的整数阶PDE系统。
• 证明涉及时间方向Caputo-Fabrizio导数的分数阶热方程边界值问题的唯一可解性。
• 在特定正则性和初始条件约束下，建立解的傅里叶级数表示的一致收敛性。
• 将Caputo-Fabrizio导数的应用范围扩展至数学物理中的高阶与多术语分数阶PDE。

提出的方法

• 利用分离变量法将解在空间方向分解为傅里叶级数：$ u(t,x) = \sum_{m=1}^{\infty} T_m(t) \sin m\pi x $。
• 对Caputo-Fabrizio导数应用分部积分，推导出 $ {}_{CF}D_{0t}^{\alpha+n}T_m(t) $ 关于 $ T_m^{(i)}(t) $、$ T_m^{(i)}(0) $ 及卷积积分的显式表达式。
• 通过代数运算消除分数阶导数，将 $ T_m(t) $ 的分数阶初值问题简化为等价的整数阶微分方程组。
• 利用涉及 $ f_{4,0}(t), f_{4,1}(t), f_{4,2}(t) $ 的积分估计，对系数 $ C_j $ 建立界。这些函数由 $ f(t,x) $ 的四阶空间导数导出。
• 对 $ f(t,x) $ 施加条件，包括在 $ t=0 $ 处三阶时间导数和二阶空间导数在边界处为零，以确保收敛性。
• 通过推导 $ |T_m(t)| \leq \frac{M_{20}}{(m\pi)^4} $ 证明傅里叶级数解的一致收敛性，确保解的定义良好且连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有Caputo-Fabrizio导数的高阶多术语时间分数阶PDE能否被系统性地简化为等价的整数阶PDE系统？
• RQ2 源函数 $ f(t,x) $ 需满足何种条件，才能保证此类分数阶PDE的傅里叶级数解一致收敛？
• RQ3 在Caputo-Fabrizio分数阶导数的框架下，如何一致地处理涉及多个时间导数的初始条件？
• RQ4 Caputo-Fabrizio导数的非奇异核在实现向整数阶系统简化的过程中起到何种作用？
• RQ5 具有Caputo-Fabrizio时间导数的分数阶热方程边界值问题的解是否唯一，且可否用一致收敛的傅里叶级数表示？

主要发现

• 当 $ k=2 $ 时，边界值问题 (2)–(4) 的解可唯一表示为傅里叶级数 $ u(t,x) = \sum_{m=1}^{\infty} T_m(t) \sin m\pi x $，其中 $ T_m(t) $ 满足一个简化后的整数阶常微分方程组。
• 在 $ f(t,x) \in C^2(\overline{\Omega}) $ 且 $ \partial^3 f / \partial t^3 \in C(\Omega \cup \{t=0\}) $ 的条件下，傅里叶级数解的一致收敛性已得证，且对 $ f $ 及其在 $ t=0 $ 和 $ x=0,1 $ 处的导数施加了额外约束。
• 解表达式中的系数 $ C_j $ 满足 $ |C_j| \leq M_1 |d_1| + M_2 |d_2| + M_3 |d_3| $，其中 $ d_1, d_2, d_3 $ 涉及 $ f_{4,0}, f_{4,1}, f_{4,2} $ 的积分，确保其有界性。
• 解满足 $ |T_m(t)| \leq \frac{M_{20}}{(m\pi)^4} $，这意味着 $ |u(t,x)| \leq \frac{M_{21}}{(m\pi)^4} $，确认了级数项的衰减速率。
• Caputo-Fabrizio导数的非奇异核使得通过分部积分实现向整数阶系统的清晰简化成为可能，从而能够对高阶多术语分数阶PDE进行解析处理。
• 该方法可推广至一般 $ k \in \mathbb{N}_0 $，解的结构取决于判别式 $ \Delta_m $ 的符号，且可适配于涉及分数阶导数的谱问题。