[论文解读] On a Kirchhoff type problems with potential well and indefinite potential

Yuanze Wu, Yisheng Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{R}^3$ 中具有不定势和势阱的 Kirchhoff 型问题，利用变分法在 $4 < p < 6$ 的条件下建立了非平凡解的存在性。证明了当参数 $\lambda \to +\infty$ 时，解在势阱中集中，这是首次在具有非局部项的不定情形下得到此类问题的存在性结果。

ABSTRACT

In this paper, we study the following Kirchhoff type problem:% $$ \left\{\aligned&amp;-\bigg(α\int_{\bbr^3}| abla u|^2dx+1\bigg)Δu+(λa(x)+a_0)u=|u|^{p-2}u&amp; ext{ in }\bbr^3,\\% &amp;u\in\h,\endaligned ight.\eqno{(\mathcal{P}_{α,λ})}% $$ where $4

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中建立具有不定势和势阱的 Kirchhoff 型问题的非平凡解的存在性。
• 分析当参数 $\lambda \to +\infty$ 时解的行为，特别是在陡峭势阱背景下的表现。
• 将变分法推广至不定情形，其中势 $a(x)$ 非负但 $a_0$ 可能为负，填补了文献中的空白。
• 在 $a_0$ 和谱间隙满足适当条件时，证明解在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于非平凡极限解，当 $\lambda \to +\infty$。
• 为使用临界点理论和紧致性论证研究具有不定势的非局部椭圆问题提供严谨框架。

提出的方法

• 在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 上将问题表述为变分泛函 $I_{\alpha,\lambda}(u)$，其中包含涉及 $\alpha \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 dx$ 的非局部项。
• 应用山路定理和 Ekeland 变分原理，证明 $I_{\alpha,\lambda}$ 的临界点存在，对应于非平凡解。
• 利用集中-紧致性原理和弱收敛分析方法，研究当 $\lambda \to +\infty$ 时解的极限行为。
• 利用 Sobolev 嵌入 $H^1(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$（$p \in (4,6)$）来控制非线性项 $|u|^{p-2}u$。
• 通过定义能量空间 $E_\lambda$ 及其范数 $\|u\|_\lambda^2 = \int_{\mathbb{R}^3} (|\nabla u|^2 + (\lambda a(x) + a_0)^+ |u|^2) dx$ 来处理势阱和不定势。
• 利用 Lebesgue 控制收敛定理和紧嵌入，证明当 $\lambda_n \to +\infty$ 时，$u_{\alpha,\lambda_n} \to u_\alpha$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^3$ 中，具有不定势和势阱的 Kirchhoff 型问题是否存在非平凡解？
• RQ2 当参数 $\lambda \to +\infty$ 时，解的行为如何，特别是在陡峭势阱存在的情况下？
• RQ3 变分法能否被调整以处理 $a_0 < 0$ 且势 $a(x)$ 非负的不定情形？
• RQ4 在什么条件下可确保解随 $\lambda$ 增大而在势阱中集中？
• RQ5 极限解 $u_\alpha$ 是否非平凡，且是否满足极限问题 $(\mathcal{P}_\alpha^*)$？

主要发现

• 本文在条件 $(A_1)$–$(A_3)$ 下，对于 $4 < p < 6$，$\alpha > 0$，$\lambda > 0$，建立了 Kirchhoff 型问题 $(\mathcal{P}_{\alpha,\lambda})$ 的非平凡解 $u_{\alpha,\lambda}$ 的存在性。
• 当 $\lambda_n \to +\infty$ 时，解 $u_{\alpha,\lambda_n}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于非平凡极限 $u_\alpha$，前提是 $a_0 \geq 0$ 或 $a_0 < 0$ 且 $\beta_{k_0^* - 1} < 1$。
• 极限解 $u_\alpha$ 是极限问题 $(\mathcal{P}_\alpha^*)$ 的非平凡解，该问题对应于将 $\lambda a(x)$ 替换为其极限行为的方程。
• 能量泛函 $I_{\alpha,\lambda}$ 具有山路几何结构，且对大 $\lambda$ 验证了 Cerami 条件，从而保证了临界点的存在性。
• 通过在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中的强收敛性以及 $u_{\alpha,\lambda_n}$ 在 $\Omega = \text{int}(a^{-1}(0))$ 外的 $L^2$-范数衰减，证实了解在势阱 $\Omega$ 中的集中性。
• 证明依赖于 $\{u_{\alpha,\lambda_n}\}$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中的有界性，以及利用 Sobolev 嵌入和 Hölder 不等式控制 $u_{\alpha,\lambda_n} - u_\alpha$ 的 $L^p$-范数。