[论文解读] On a minimax theorem: an improvement, a new proof and an overview of its applications

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Optimization and Variational Analysis被引用 22

一句话总结

本文提出了一种新的归纳证明方法，针对定义在乘积空间上的函数的极小极大定理，其中第二个变量属于豪斯多夫拓扑向量空间中的凸集。该研究通过不依赖莫桑尼的中间结果，将定理1.A推广至更广泛的设定，建立了极小极大等式成立或存在多个全局极小值的条件，并在非线性偏微分方程和变分分析中展示了应用。

ABSTRACT

Theorem 1 of [14], a minimax result for functions $f:X imes Y o {\bf R}$, where $Y$ is a real interval, was partially extended to the case where $Y$ is a convex set in a Hausdorff topological vector space ([15], Theorem 3.2). In doing that, a key tool was a partial extension of the same result to the case where $Y$ is a convex set in ${\bf R}^n$ ([7], Theorem 4.2). In the present paper, we first obtain a full extension of the result in [14] by means of a new proof fully based on the use of the result itself via an inductive argument. Then, we present an overview of the various and numerous applications of these results.

研究动机与目标

• 将定理1.A从实区间推广至豪斯多夫拓扑向量空间中的凸集。
• 基于定理1.A本身，使用归纳论证方法，提供扩展后极小极大结果的新证明。
• 在不依赖莫桑尼定理的前提下，建立关于第二个变量具有拟凹依赖关系的函数的极小极大结果。
• 全面概述在非线性分析、偏微分方程和优化问题中的应用。
• 通过极小极大框架，证明椭圆边值问题中存在多个弱解。

提出的方法

• 在单纯形 $ S_n $ 的维数上使用归纳证明技术，从基例 $ n=1 $ 开始。
• 构造一个连续仿射映射 $ \psi: S_k \times [0,1] \to S_{k+1} $，以关联高维与低维单纯形。
• 定义提升函数 $ \tilde{f}(x, \lambda, \mu) = f(x, \psi(\lambda, \mu)) $，以在不同维度间传递性质。
• 对 $ \tilde{f} $ 应用归纳假设，利用拟凹性与下半连续性。
• 利用下确界紧性与下半连续性，确保下确界与上确界可达到。
• 将主要极小极大结果应用于索博列夫空间中的变分问题，特别是 $ H^1_0(\Omega) $，通过泛函最小化与扰动论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 定理1.A能否被完全从实区间推广至豪斯多夫拓扑向量空间中的凸集？
• RQ2 当 $ f(x, \cdot) $ 的连续性条件放宽为上半连续性时，极小极大等式是否仍然成立？
• RQ3 能否在不依赖莫桑尼定理于 $ \mathbb{R}^n $ 的前提下证明极小极大结果？
• RQ4 极小极大结果对非线性椭圆型偏微分方程中多重解的存在性有何影响？
• RQ5 在 $ H^1_0(\Omega) $ 中，与偏微分方程相关的泛函在何种条件下至少存在两个全局极小值？

主要发现

• 本文将定理1.A在豪斯多夫拓扑向量空间中的凸集上实现了完整推广，证明了要么 $ \sup_Y \inf_X f = \inf_X \sup_Y f $，要么 $ f(\cdot, \hat{y}) $ 至少有两个全局极小值。
• 提供了一种全新的归纳证明，完全基于定理1.A，避免了使用如莫桑尼定理等外部结果。
• 定理1.2通过证明在 $ f(x, \cdot) $ 为凹函数且无需上半连续性要求的情况下，推广了定理1.C的极小极大结果。
• 将极小极大框架应用于一类基尔霍夫型偏微分方程，证明至少存在三个弱解，其中两个为全局极小值。
• 对于满足 $ \sup_{\xi} \int_0^\xi f(x,t)dt > 0 $ 在正测度集合上成立且具有次二次增长的 $ f \in \mathcal{A} $，当 $ \lambda $ 足够大且 $ \varphi \in C $ 时，问题 $ -\Delta u = \lambda f(x,u) + \varphi $ 至少存在三个弱解。
• 该结果被推广至 $ H^{-1}(\Omega) $-值扰动情形，表明对具有受控增长的广泛非线性项，存在多个解。