[论文解读] On a Multilocus Wright-Fisher Model with Mutation and a Svirezhev-Shahshahani Gradient-like Selection Dynamics

Erik Aurell, Magnus Ekeberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文提出了一种带有突变和成对基因座间选择的多基因座Wright-Fisher扩散模型，通过具有Shahshahani梯度类漂移结构的随机微分方程（SDE）系统进行公式化。该研究建立了马尔可夫链到极限扩散过程的弱收敛性，并在Kingman的卡片屋突变模型下推导出显式的平稳密度，从而实现了对遗传网络的Wright-Fisher模型构建。

ABSTRACT

In this paper we introduce a multilocus diffusion model of a population of $N$ haploid, asexually reproducing individuals. The model includes parent-dependent mutation and interlocus selection, the latter limited to pairwise relationships but among a large number of simultaneous loci. The diffusion is expressed as a system of stochastic differential equations (SDEs) that are coupled in the drift functions through a Shahshahani gradient-like structure for interlocus selection. The system of SDEs is derived from a sequence of Markov chains by weak convergence. We find the explicit stationary (invariant) density by solving the corresponding stationary Fokker-Planck equation under parent-independent mutation, i.e., Kingman's house-of-cards mutation. The density formula enables us to readily construct families of Wright-Fisher models corresponding to networks of loci.

研究动机与目标

• 开发一种无性、单倍体种群的多基因座扩散模型，包含基因座间的成对选择及亲代无关的突变。
• 建立一系列马尔可夫链弱收敛于具有Shahshahani梯度类漂移结构的极限SDE的过程。
• 在Kingman的卡片屋突变模型下，显式求解平稳Fokker-Planck方程。
• 为构建对应于基因互作网络的Wright-Fisher模型提供一个框架。

提出的方法

• 推导出具有由适应度势能的Shahshahani梯度构成的漂移函数的多基因座等位基因频率SDE系统。
• 应用[40]和[38]中的弱收敛技术，证明马尔可夫链收敛于扩散极限。
• 利用Girsanov定理和漂移变换技术，证明鞅问题解的唯一性。
• 在Kingman的突变模型下显式求解平稳Fokker-Planck方程，得到闭式不变密度。
• 利用基因座上多项式抽样中的条件独立性来分析漂移与扩散分量。
• 通过矩界和当种群大小 $N \to \infty$ 时四阶矩增量趋于零，验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有基因座间成对相互作用的多基因座Wright-Fisher模型表述为具有结构化漂移的扩散过程？
• RQ2 在何种条件下可确保一系列马尔可夫链弱收敛于所提出的SDE系统？
• RQ3 在亲代无关突变下，此类模型的平稳分布能否显式推导？
• RQ4 漂移中的Shahshahani梯度类结构与多基因座系统中的适应度和选择有何关联？
• RQ5 不变密度在构建具有基因座间相互作用的遗传网络模型中起什么作用？

主要发现

• 在Kingman的卡片屋突变模型下，平稳Fokker-Planck方程被显式求解，得到闭式不变密度。
• 通过Girsanov定理和漂移变换技术，极限扩散过程被唯一刻画。
• 漂移函数表现出源自适应度势能的Shahshahani梯度类结构，从而能够显式建模基因座间选择。
• 在条件独立性及漂移与扩散系数的矩条件成立下，马尔可夫链序列弱收敛于SDE。
• 当 $N \to \infty$ 时，该过程的四阶矩增量趋于零，证实极限中无跳跃现象。
• 不变密度使得能够系统地构建对应于相互作用基因座网络的Wright-Fisher模型。