[论文解读] On a Multisymplectic Formulation of the Classical BRST Symmetry for First Order Field Theories Part II: Geometric Structures

S. P. Hrabak|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 18

一句话总结

本文利用多辛几何与分级流形，为一阶经典场论构建了一个协变的哈密顿BFV形式体系。通过在分级多辛流形上引入格拉斯曼-奇数的丛同态，建立了几何化的BRST对称性，得到一个多项式BRST代数，以及一个$\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-分级的泊松-莱布尼茨代数的可观测量，其诺特定流的守恒性由单一几何方程导出。

ABSTRACT

A geometric multisymplectic formulation of the classical BRST symmetry of constrained first-order classical field theories is described. To effect this we introduce graded analogues of the bundles and manifolds of the multisymplectic formulation of first-order field theories. The Lagrange-d'Alembert formalism is also developed in terms of the multisymplectic framework. The result is a covariant Hamiltonian BFV formalism.

研究动机与目标

• 为约束性一阶场论发展一种几何的、协变的哈密顿BRST对称形式体系。
• 在多辛框架内推广拉格朗日-达朗贝尔原理，纳入拉格朗日乘子与正则共轭动量。
• 构建配置丛与相空间的分级类比，以几何方式编码格拉斯曼-奇数自由度（鬼场）。
• 将Marsden-Weinstein多辛约化中的代数结构转化为分级多辛流形上的几何对象。
• 通过统一多辛拉格朗日-达朗贝尔形式体系与分级几何BRST结构，建立协变哈密顿BFV形式体系。

提出的方法

• 通过配置丛上自由且本征的群作用所诱导的可积分布，引入拉格朗日乘子分布。
• 通过添加拉格朗日乘子及其正则共轭动量，构造扩展的配置丛与多重相空间，形成多辛流形。
• 使用单一几何方程推广哈密顿运动方程，该方程同时导出运动方程与协变诺特定流的守恒性。
• 利用分级流形构建配置丛、多重相空间与协变相空间的分级类比，以几何方式建模鬼场。
• 在分级配置丛上定义一个格拉斯曼-奇数的阿贝尔丛同态，该同态可提升至分级相空间上的BRST对称性。
• 将BRST算符识别为由格拉斯曼-奇数的$(n-1)$-形式生成的泊松-莱布尼茨导子，可观测量构成$\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-分级的泊松-莱布尼茨代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一阶场论的协变、多辛框架下，几何化地表述经典BRST对称性？
• RQ2 如何将拉格朗日乘子及其共轭动量纳入多辛形式体系，以保持变分结构？
• RQ3 格拉斯曼-奇数自由度（鬼场）在BRST形式体系中的几何作用是什么？如何通过分级流形进行建模？
• RQ4 BRST算符如何在分级多辛流形上实现为多辛微分同构？其与原始规范对称性的关系为何？
• RQ5 与非协变形式相比，所得BRST代数在空间导数依赖性方面有何不同？

主要发现

• 本文通过统一多辛拉格朗日-达朗贝尔形式体系与多辛流形上的分级几何结构，构建了协变哈密顿BFV形式体系。
• BRST对称性被实现为分级配置丛上的格拉斯曼-奇数、阿贝尔丛同态，该同态可提升至分级相空间上的多辛微分同构。
• 在分级多辛流形上的可观测量构成$\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-分级的泊松-莱布尼茨代数，BRST算符由格拉斯曼-奇数的$(n-1)$-形式生成。
• 前续论文中的代数微分复形被几何实现为子代数与泊松-莱布尼茨导子，约化可观测量由其零阶同调给出。
• 所得BRST代数在正则变量中为多项式形式，与非协变方法中涉及正则变量空间导数的形式形成对比。
• 协变诺特定流的守恒性与运动方程均源自扩展多辛框架中的单一几何方程。