[论文解读] On a new class of 2-orthogonal polynomials, II_The integral representations

Khalfa Douak, P. Maroni|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2022

Mathematical functions and polynomials被引用 4

一句话总结

本文通过求解涉及两个线性泛函的矩阵微分方程，为一类新的2-正交多项式建立了积分表示。推导出定义在实直线或正实直线上的权函数，其表达式通过合流超几何函数和拉盖尔函数等特殊函数表示，并在必要时添加狄拉克质量以满足边界条件，从而通过显式测度完整刻画了这些泛函。

ABSTRACT

A new class of 2-orthogonal polynomials satisfying orthogonality conditions with respect to a pair of linear functionals $(u_0,u_1)$ was presented in Douak K & Maroni P [On a new class of 2-orthogonal polynomials, I: the recurrence relations and some properties. Integral Transforms Spec Funct. 2021;32(2):134-153]. Six interesting special cases were pointed out there. For each case, we precisely deal with the integral representation problem for the functionals associated to these polynomials. The focus is on the matrix differential equation $\big({\bfΦU}\big)'+{\bfΨU}=0$, with ${\bf U}={^t}(u_0 , u_1)$ and ${\bfΦ}$, ${\bfΨ}$ are $2 imes2$ polynomial matrices, from which we establish the differential equations satisfied by the two functionals. Based on this, depending on the case, we show that $u_0$ and $u_1$ are represented via weight functions supported on the real line or positive real line and defined in terms of various special functions. In order for certain integral representations to exist, addition of Dirac mass is necessary.

研究动机与目标

• 确定与一类新的2-正交多项式相关的线性泛函 $u_0$ 和 $u_1$ 的积分表示。
• 求解矩阵微分方程 $({\bf \Phi U})' + {\bf \Psi U} = 0$，其中 ${\bf \Phi}, {\bf \Psi}$ 为 $2\times2$ 多项式矩阵，${\bf U} = (u_0, u_1)^t$ 为向量。
• 识别定义在实直线或正实直线上的权函数 $w_0$ 和 $w_1$，使其满足正交性条件。
• 在微分系统边界条件不满足时，适当地引入狄拉克质量以确保解的有效性。
• 通过归一化和边界条件约束验证解的正确性，确保其与多项式的递推结构一致。

提出的方法

• 通过求解矩阵微分方程 $({\bf \Phi U})' + {\bf \Psi U} = 0$ 推导出 $u_0$ 和 $u_1$ 所满足的微分系统。
• 将系统约化为权函数 $w_0$ 和 $w_1$ 的二阶线性微分方程，如 $w_0'' - 2s w_0' + w_0 = 0$ 或 $x w_0' + (x - \alpha) w_0 = 0$。
• 在特定参数约束下，利用特殊函数——如合流超几何函数和拉盖尔权函数——作为微分方程的解。
• 应用由对偶括号导出的边界条件，包括 $[x w_0 f]_{\mathscr{C}} = 0$ 和 $[(w_1 - \nu w_0) f]_{\mathscr{C}} = 0$，以限制解的范围。
• 当权函数在无界区域上不满足边界条件时，在 $x=0$ 处引入狄拉克质量。
• 利用伽马函数和超几何恒等式对解进行归一化，以确保其与对偶序列及递推系数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与2-正交多项式相关的线性泛函 $u_0$ 和 $u_1$ 是否能通过实直线或正实直线上权函数的积分表示？
• RQ2 权函数 $w_0$ 和 $w_1$ 满足何种微分方程？其解如何依赖于参数 $r$, $s$, $\alpha_1$, 和 $\beta_0$？
• RQ3 在何种条件下，泛函的边界条件成立？在何种情况下必须添加狄拉克质量以获得有效的积分表示？
• RQ4 合流超几何函数和拉盖尔函数的解如何从微分系统中自然导出？
• RQ5 能否通过所推导的权函数一致地满足归一化常数和对偶序列条件？

主要发现

• 当 $2 + p + q = 0$ 时，权函数为：$w_0(x) = c e^{\delta_1 x}$（$x \geq 0$）和 $w_0(x) = c e^{\delta_0 x}$（$x \leq 0$），其中 $c = -1/(2r)$，且 $w_1(x)$ 通过指数和多项式项分段定义。
• 在子情形 VI.2 中，当 $\eta = 0$，$\delta_1 = -1$，$\beta_0 = \alpha + 1$，且 $\nu = \delta_0^{-1}$ 时，权函数 $w_0(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} x^\alpha e^{-x}$ 即为经典的拉盖尔权函数。
• 在子情形 VI.2 中，权函数 $w_1(x)$ 的表达式为 $w_1(x) = \nu w_0(x) - \frac{\nu^2 e^{\nu x}}{(\nu+1)^{\alpha+1}} \frac{\gamma(\alpha+1, (\nu+1)x)}{\Gamma(\alpha+1)}$，其中 $\alpha \geq 0$ 且 $-1 < \nu < 0$，且涉及下不完全伽马函数。
• 在给定参数约束下，边界条件 $[x w_0 f]_{\mathscr{C}} = 0$ 和 $[(w_1 - \nu w_0) f]_{\mathscr{C}} = 0$ 成立，确保与对偶配对的一致性。
• 归一化常数显式计算为 $\lambda_0 = -k / (\beta_0 \Gamma(-p))$ 和 $\lambda_1 = \delta_1 k / (2r(1+p)\Gamma(-p))$，其中 $k$ 涉及超几何函数 ${}_2F_1$。
• 当 $p = q = -1$ 时，解为：$w_0(x) = c_1 e^{\delta_1 x} + c_2 e^{\delta_0 x}$（$x \in \mathbb{R}$），其中 $c_1, c_2$ 为任意常数，且 $w_1$ 由 $\eta w_1 = -x w_0' + \delta_0(x - \beta_0 - \delta_1) w_0$ 确定。