[论文解读] On a new conjecture for the Coupon Collector's problem with swapping and replacement

Niklas Braband, Sonja Braband|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Auction Theory and Applications被引用 1

一句话总结

本文研究了带有替换（有限直接购买）和交换的优惠券收集者问题，通过模拟和解析证明表明，平均所需贴纸数量及其方差随替换率和收集者数量的增加而可预测地变化，与集邮册大小无关。关键贡献在于提出一种仅基于替换率和基本算术的实用估算方法，使收藏者可通过查表估算完成成本和标准差。

ABSTRACT

This paper focuses on the Coupon Collector's Problem with replacement (limited purchasing of missing stickers) and swapping. We have simulated combined strategies and found new results, which we were able to prove for a particular case. The ratio of the average number of stickers needed to fill the album by the album size (number of different stickers needed) and the number of collectors as well as the ratio of the variance and the album size depend approximately only on the percentage of replacement stickers (the limited number of stickers that can be bought directly from the vendor) and the number of collectors, but not on the total album size. Thus collectors can estimate the average cost of completion of an album and its standard deviation just based on basic calculations and a table lookup. Additionally we could show that asymptotocally the effect of replacement is stronger than swapping. ----- In diesem Artikel wird das Sammelbilderproblem mit Nachkaufen und Tauschen untersucht. Wir haben mit Hilfe von Simulationen neue Ergebnisse gefunden und sie auch in einem Spezialfall bewiesen. Das Verhaltnis der mittleren Anzahl zu kaufender Karten pro Sammler als auch das Verhaltnis der Varianz zur Albumgrose hangt in sehr guter Naherung nur vom Anteil der nachkaufbaren Karten ab, aber nicht von der Albumgrose. Damit konnen Sammler anhand des Prozentsatzes der Nachkaufkarten die mittleren Kosten eines Albums sowie deren Standardabweichung nur mit einer Tabelle und Grundrechenarten bestimmen. Ausserdem konnten wir belegen, dass asymptotisch der Effekt des Nachkaufens starker ist als der des Tauschens.

研究动机与目标

• 分析在结合使用替换（有限直接购买）和交换策略下的优惠券收集者问题。
• 确定平均所需贴纸数量和方差如何随集邮册大小、替换率和收集者数量变化。
• 开发一种独立于集邮册大小的实用估算方法，用于估算完成成本和标准差。
• 通过解析证明，替换在减少完成时间方面具有比交换更强的渐近影响。

提出的方法

• 在不同集邮册大小和替换率下，模拟结合使用替换和交换策略的实验。
• 分析模拟中平均贴纸数量与集邮册大小的比值，以及方差与集邮册大小的比值。
• 在特定情况下，解析证明这些比值仅取决于替换率和收集者数量，与集邮册大小无关。
• 推导渐近行为，以比较替换与交换对完成时间的相对影响。
• 利用实证数据验证，该缩放行为在不同集邮册大小下均成立。
• 创建查表工具，基于替换率和收集者数量，实现对平均成本和标准差的实用估算。

实验结果

研究问题

• RQ1 引入替换（有限直接购买）如何影响完成集邮册所需贴纸的期望数量？
• RQ2 交换在多大程度上减少了所需贴纸的期望数量？其效果与替换相比如何？
• RQ3 当结合使用替换和交换时，平均贴纸数量及其方差是否与集邮册大小无关？
• RQ4 替换与交换对完成时间的渐近相对影响是什么？
• RQ5 能否仅基于替换率和收集者数量，推导出平均成本和标准差的简单估算方法？

主要发现

• 每位收集者所需贴纸数量的平均值与集邮册大小的比值，仅取决于替换率和收集者数量，与集邮册大小无关。
• 贴纸数量方差与集邮册大小的比值，同样仅取决于替换率和收集者数量，与集邮册大小无关。
• 这些缩放行为使收藏者仅通过查表和基本算术即可估算平均完成成本和标准差。
• 在减少所需贴纸数量方面，替换的渐近影响强于交换。
• 解析证明在特定情况下验证了模拟结果，证实了缩放行为的稳健性。
• 研究结果使收藏者和组织者能够实现与大小无关的完成指标实用估算。