[论文解读] On a new formula relating localisation operators to time operators

Serge Richard, Rafael Tiedra de Aldecoa|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的公式，利用一族对易的自伴算子 $ \tilde{\text{F}} $ 构造一个基于抽象局域化算子的自伴哈密顿量 $ H $ 的时间算子 $ T_f $。时间算子由 $ f(\tilde{\text{F}}/r) $ 的时间演化导出，关键结果表明：在 $ H $ 的谱表示中，$ T_f $ 作为 $ i\frac{d}{d\tilde{\text{F}}} $ 起作用，且存在一个涉及对易子 $ i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ 的显式平稳公式。该理论适用于广泛的算子类，包括伪微分算子、雅可比算子、狄拉克算子和直接积分算子。

ABSTRACT

We consider in a Hilbert space a self-adjoint operator H and a family Phi=(Phi_1,...,Phi_d) of mutually commuting self-adjoint operators. Under some regularity properties of H with respect to Phi, we propose two new formulae for a time operator for H and prove their equality. One of the expressions is based on the time evolution of an abstract localisation operator defined in terms of Phi while the other one corresponds to a stationary formula. Under the same assumptions, we also conduct the spectral analysis of H by using the method of the conjugate operator. Among other examples, our theory applies to Friedrichs Hamiltonians, Stark Hamiltonians, some Jacobi operators, the Dirac operator, convolution operators on locally compact groups, pseudodifferential operators, adjacency operators on graphs and direct integral operators.

研究动机与目标

• 为给定的自伴哈密顿量 $ H $ 开发一种通用的构造时间算子 $ T $ 的程序，且不预先假设 $ T $ 的存在。
• 建立抽象局域化算子的时间演化与 $ H $ 的谱导数之间的严格联系，推广文献 [37] 中关于伪微分算子的公式。
• 以对易子 $ i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ 的形式，为时间算子 $ T_f $ 提供一个平稳公式，从而可通过共轭算子方法实现谱分析。
• 统一并扩展时间算子理论在多种量子系统中的应用，包括弗里德里希斯和斯塔克哈密顿量、狄拉克算子以及群上的卷积算子。
• 证明两个 $ T_f $ 表达式的等价性：一个为动力学形式（基于 $ f(\tilde{\text{F}}/r) $ 的时间演化），另一个为平稳形式（涉及 $ R_f' $ 和 $ H' $）。

提出的方法

• 引入两个关键假设：(1) $ H $ 关于 $ \tilde{\text{F}} $ 具有 $ C^3 $ 光滑性，确保共轭预解式具有强可微性；(2) 对所有 $ x \in \mathbb{R}^d $，共轭算子 $ e^{-ix\tilde{\text{F}}}He^{ix\tilde{\text{F}}} $ 相互对易。
• 推导出 $ T_f $ 的动力学公式，即作为时间平均对易子的极限：$ \lim_{r\to\infty} \frac{1}{2}\int_0^\infty dt \left\langle \varphi, [e^{-itH}f(\tilde{\text{F}}/r)e^{itH} - e^{itH}f(\tilde{\text{F}}/r)e^{-itH}] \varphi \right\rangle $。
• 建立平稳公式：$ T_f = -\frac{1}{2}(\tilde{\text{F}} \cdot R_f'(H') + R_f'(H') \cdot \tilde{\text{F}}) $，其中 $ H'_j = i[H, \tilde{\text{F}}_j] $，且 $ R_f' $ 是由 $ f $ 的傅里叶变换导出的显式函数。
• 应用共轭算子方法分析 $ H $ 的谱性质，特别是谱的正则性以及奇异连续谱的存在性。
• 利用谱定理证明：在 $ H $ 的谱表示中，$ T_f $ 作为 $ i\frac{d}{d\lambda} $ 起作用，从而确认其作为真正时间算子的角色。
• 在多个例子中验证该理论：弗里德里希斯和斯塔克哈密顿量、雅可比算子、狄拉克算子、局部紧群上的卷积算子、伪微分算子、图上的邻接算子以及直接积分算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从给定的自伴哈密顿量 $ H $ 和一族对易的自伴算子 $ \tilde{\text{F}} $ 系统地构造时间算子 $ T $，而无需预先假设 $ T $ 的存在？
• RQ2 是否存在一个基于局域化算子 $ f(\tilde{\text{F}}/r) $ 的时间演化的时间算子 $ T $ 的动力学公式，且在 $ r \to \infty $ 极限下是否能定义出一个良态算子？
• RQ3 能否从对易子结构 $ i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ 推导出时间算子 $ T $ 的平稳公式，且其是否与动力学表达式等价？
• RQ4 在 $ H $ 和 $ \tilde{\text{F}} $ 满足何种正则性与对易性条件时，时间算子 $ T_f $ 在 $ H $ 的谱表示中作为 $ i\frac{d}{d\lambda} $ 起作用？
• RQ5 该通用框架是否适用于广泛的量子系统，包括伪微分算子、狄拉克算子和直接积分算子，其谱后果为何？

主要发现

• 时间算子 $ T_f $ 被构造为涉及 $ e^{-itH}f(\tilde{\text{F}}/r)e^{itH} $ 的时间平均对易子的极限，且该极限等于 $ \langle \varphi, T_f \varphi \rangle $，其中 $ \varphi $ 属于合适的稠密定义域。
• 平稳公式 $ T_f = -\frac{1}{2}(\tilde{\text{F}} \cdot R_f'(H') + R_f'(H') \cdot \tilde{\text{F}}) $ 被严格推导出，其中 $ H'_j = i[H, \tilde{\text{F}}_j] $，且 $ R_f' $ 是依赖于 $ f $ 的傅里叶变换的显式函数。
• 在 $ H $ 的谱表示中，算子 $ T_f $ 作为 $ i\frac{d}{d\lambda} $ 起作用，从而确认其作为满足弱意义下正则对易关系 $ [T_f, H] = i $ 的真正时间算子的角色。
• 在所述假设下，$ T_f $ 的两个表达式——一个为动力学形式（基于局域化的时变演化），另一个为平稳形式（通过 $ H' $）——被证明是等价的。
• 该理论适用于广泛的算子类：弗里德里希斯和斯塔克哈密顿量、雅可比算子、狄拉克算子、群上的卷积算子、伪微分算子、图上的邻接算子以及直接积分算子。
• 对于具有狄拉克拉普拉斯算子 $ -\Delta_D $ 的波导模型，时间算子被显式计算为 $ T_f = \frac{1}{4} \otimes (QP^{-1} + P^{-1}Q) $，且在 $ -\Delta_D $ 的谱表示中，其作为 $ i\frac{d}{d\lambda} $ 起作用，其中 $ \kappa(H) = \sigma(-\Delta_D^\Sigma) $。