[论文解读] On a nonlinear eigenvalue problem in Sobolev spaces with variable exponent

Teodora Liliana Dinu|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文证明了在变指数 Sobolev 空间中，涉及 $p(x)$-Laplace 算子的非线性特征值问题存在一个非平凡的非负弱解。通过在变指数 Lebesgue 与 Sobolev 空间中利用紧致性论证验证 Palais-Smale 条件，并应用山路定理，作者证明了在非线性项满足适当的增长与强制条件时，当 $\lambda < \lambda^*$ 时解存在。

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear Dirichlet problems involving the $p(x)$--Laplace operator. Our framework is based on the theory of Sobolev spaces with variable exponent and we establish the existence of a weak solution in such a space. The proof relies on the Mountain Pass Theorem.

研究动机与目标

• 在变指数 Sobolev 空间中建立涉及 $p(x)$-Laplace 算子的非线性 Dirichlet 问题弱解的存在性。
• 将经典 $p$-Laplacian 结果推广至更具一般性的非均匀增长 $p(x)$-Laplacian 框架。
• 在变指数空间中验证相关能量泛函的 Palais-Smale 条件，以确保临界点的存在性。
• 在非线性项满足适当结构假设的前提下，证明解为非负。
• 展示当源项在 $L^\infty$ 范数下发生小扰动时，存在性结果的鲁棒性。

提出的方法

• 在满足 $p(x) \in C_\theta(\overline{\Omega})$ 的变指数 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ 广义 Lebesgue-Sobolev 空间中表述问题。
• 定义能量泛函 $J(u) = \int_\Omega \frac{1}{p(x)}(|\nabla u|^{p(x)} - \lambda |u|^{p(x)})\,dx - \int_\Omega \frac{1}{q}|u|^q\,dx$，其为 $C^1$ 且有下界。
• 通过验证几何条件（$J(0) = 0$，当 $\|u\| \to \infty$ 时 $J(u) \to \infty$，且 $J$ 在 0 处有局部极小值）应用山路定理。
• 通过证明任意满足 $(PS)$ 条件的序列有界且在 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ 中存在强收敛子列，来证明 Palais-Smale 条件。
• 利用 Egorov 定理及在小测度集合上的一致收敛性，控制 $h(x,u_n) = |u_n|^{q-2}u_n$ 在 $L^{Np(x)/(Np(x)-N+p(x))}(\Omega)$ 中的收敛性。
• 通过变指数空间中的连续嵌入与范数估计，建立 $h(x,u_n)$ 在 $W^{-1,p'(x)}(\Omega)$ 中的相对紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ 中，$p(x)$-Laplacian 特征值问题 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u$ 是否存在弱解？
• RQ2 在何种 $p(x)$、$\lambda$ 与 $q$ 条件下，山路定理能保证相关能量泛函存在非平凡临界点？
• RQ3 当源项为有界 $L^\infty$-扰动 $a(x)$ 时，该存在性结果是否可推广至扰动问题？
• RQ4 在给定的结构假设下，弱解是否保证为非负？
• RQ5 变指数框架如何影响临界点理论所必需的紧致性与强制性性质？

主要发现

• 当 $\lambda < \lambda^*$ 时，问题 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u$ 在 $W_0^{1,p(x)}(\Omega) \setminus \{0\}$ 中存在非平凡弱解，其中 $\lambda^*$ 定义为 Rayleigh 商的下确界。
• 通过将方程与 $u^{-}$ 作测试并利用严格不等式 $\lambda < \lambda^*$，可证明解为非负，即 a.e. 在 $\Omega$ 中 $u^{-} = 0$。
• 在假设 $p^+ < N$，$p^- < q < Np^+/(N-p^+)$（当 $N \geq 3$ 时），以及 $p^- < q < \infty$（当 $N=1,2$ 时），能量泛函 $J$ 的 Palais-Smale 条件成立。
• 当非线性项被替换为满足 $|f(x,u)| \leq C(|u| + |u|^{q-1})$，$f(x,u)/u \to 0$（当 $u \to 0$ 时），且对大 $u$ 有 $\mu F(x,u) \leq u f(x,u)$（$\mu > 2$）的广义 $f(x,u)$ 时，存在性结果仍成立。
• 对于满足 $\|a\|_{L^\infty} < \delta$ 的小 $L^\infty$-扰动 $a(x)$，扰动问题 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u + a(x)$ 至少存在一个弱解。
• 若 $a \geq 0$，则解保持非负，通过与 $u^{-}$ 作测试并利用 $a$ 的符号条件可确认此结论。