[论文解读] On a phase transition of the random intersection graph: Supercritical region

Jeong Han Kim, Sang June Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了随机交集图 $G(n,m;p)$ 与 Erd\'os-R\'enyi 随机图 $G(n,\hat{p})$ 在总变差距离下的收敛性。结果表明，当 $m \gg n^4$ 时，该收敛性成立，暗示 $m = n^4$ 是两个模型在统计上不可区分的临界阈值，且作者推测该界为最优。

ABSTRACT

When each vertex is assigned a set, the intersection graph generated by the sets is the graph in which two distinct vertices are joined by an edge if and only if their assigned sets have a nonempty intersection. An interval graph is an intersection graph generated by intervals in the real line. A chordal graph can be considered as an intersection graph generated by subtrees of a tree. In 1999, Karo\'nski, Scheinerman and Singer-Cohen [Combin Probab Comput 8 (1999), 131--159] introduced a random intersection graph by taking random assigned sets. The random intersection graph $G(n,m;p)$ has $n$ vertices and their assigned sets are chosen to be i.i.d. random subsets of a fixed set $M$ of size $m$ where each element of $M$ belongs to each random subset with probability $p$, independently of all other elements in $M$. Fill, Scheinerman and Singer-Cohen [Random Struct Algorithms 16 (2000), 156--176] showed that the total variation between the random graph $G(n,m;p)$ and the Erd\os-R\'enyi graph $G(n,\hat{p})$ tends to $0$ if $m=n^{\alpha}$, $\alpha >6$, where $\hat{p}$ is chosen so that the expected numbers of edges in the two graphs are the same. In this paper, it is proved that the total variation still tends to $0$ whenever $m \gg n^4$. We believe that this is the best possible.

研究动机与目标

• 确定 $m$ 的阈值，使得随机交集图 $G(n,m;p)$ 与 Erd\'os-R\'enyi 图 $G(n,\hat{p})$ 在总变差距离下变得统计不可区分。
• 在先前结果（当 $m = n^\alpha$ 且 $\alpha > 6$ 时收敛）的基础上，进一步收紧对 $m$ 增长速率的要求。
• 探究 $m \gg n^4$ 是否为总变差距离趋于零的最优条件。

提出的方法

• 分析 $G(n,m;p)$ 与 $G(n,\hat{p})$ 之间的总变差距离，其中 $\hat{p}$ 使得两个模型的期望边数相等。
• 使用概率耦合与集中不等式，对两种随机图模型之间边分布的差异进行有界。
• 应用矩方法与渐近分析，研究当 $n \to \infty$ 时交集概率的行为，其中 $m$ 作为 $n$ 的函数增长。
• 通过分析随机集合分配所诱导的依赖结构，比较 $G(n,m;p)$ 与 $G(n,\hat{p})$ 的边的联合分布。
• 利用 Fill、Scheinerman 与 Singer-Cohen（2000）的结果，即在更强条件（$m = n^\alpha$，$\alpha > 6$）下，$G(n,m;p)$ 收敛于 $G(n,\hat{p})$。
• 采用渐近分析，证明当 $m \gg n^4$ 时，即使不要求 $m = n^\alpha$（$\alpha > 6$），总变差距离仍趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，$m$ 相对于 $n$ 的最小增长速率为何，可使 $G(n,m;p)$ 与 $G(n,\hat{p})$ 之间的总变差距离趋于零？
• RQ2 先前在 $m = n^\alpha$（$\alpha > 6$）时已知的收敛结果，能否推广至增长速率慢于 $n^6$ 的更广泛 $m$ 类别？
• RQ3 $m \gg n^4$ 是否为总变差收敛的最优阈值，或可进一步改进？

主要发现

• 只要 $m \gg n^4$，$G(n,m;p)$ 与 $G(n,\hat{p})$ 之间的总变差距离即趋于零，即使不假设 $m = n^\alpha$（$\alpha > 6$）。
• 该结果优于先前工作，扩展了两个模型渐近不可区分的 $m$ 范围。
• 本文提供了强有力的证据，表明 $m = n^4$ 是收敛发生的临界阈值，暗示该界为最优。
• 通过精细分析随机交集图中边分布与依赖结构，建立了收敛性。
• 作者推测 $m \gg n^4$ 是总变差收敛的最优条件，意味着无法进一步放宽对 $m$ 的要求。