[论文解读] On a predator-prey system with random switching that never converges to its equilibrium

Alexandru Hening, Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用 22

一句话总结

本文研究一个由两个具有共同平衡点的确定性Lotka–Volterra动力系统之间的随机切换所驱动的捕食者-猎物系统。通过使用连续时间马氏过程（PDMP）框架，证明尽管两个系统共享一个平衡点，但轨迹几乎必然不会收敛到该点；相反，猎物和捕食者种群密度在0与∞之间振荡，从而证实了Takeuchi等人（2006年）的猜想。关键结果是存在一个正的Lyapunov指数，意味着在切换下系统会指数级地远离平衡点。

ABSTRACT

We study the dynamics of a predator-prey system in a random environment. The dynamics evolves according to a deterministic Lotka-Volterra system for an exponential random time after which it switches to a different deterministic Lotka-Volterra system. This switching procedure is then repeated. The resulting process is a Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP). In the case when the equilibrium points of the two deterministic Lotka--Volterra systems coincide we show that almost surely the trajectory does not converge to the common deterministic equilibrium. Instead, with probability one, the densities of the prey and the predator oscillate between $0$ and $\\infty$. This proves a conjecture of Takeuchi et al (J. Math. Anal. Appl 2006). The proof of the conjecture is a corollary of a result we prove about linear switched systems. Assume $(Y_t, I_t)$ is a PDMP that evolves according to $\\frac{dY_t}{dt}=A_{I_t} Y_t$ where $A_0,A_1$ are $2\ imes2$ matrices and $I_t$ is a Markov chain on $\\{0,1\\}$ with transition rates $k_0,k_1>0$. If the matrices $A_0$ and $A_1$ are not proportional and have purely imaginary eigenvalues, then there exists $\\lambda >0$ such that $\\lim_{t \ o \\infty} \\frac{\\log \\| Y_t \\|}{t} = \\lambda.$

研究动机与目标

• 解决Takeuchi等人（2006年）提出的猜想，即在两个Lotka–Volterra系统之间随机切换的捕食者-猎物系统不会收敛到其共同平衡点。
• 分析动力系统在两个确定性Lotka–Volterra系统之间切换的连续时间马氏过程（PDMP）的长期行为。
• 建立系统表现出非收敛、发散行为的条件，即使存在共同的平衡点。
• 通过在平衡点附近进行线性化，将线性切换系统的结果推广到非线性捕食者-猎物模型。

提出的方法

• 将系统建模为一个PDMP，其切换由在{0,1}上的连续时间马氏链控制，切换速率为k₀, k₁ > 0。
• 在共同平衡点(p,q)处对系统进行线性化，得到线性切换系统dYₜ/dt = A_{Iₜ}Yₜ，其中A₀, A₁为2×2矩阵。
• 利用线性PDMP的Lyapunov指数理论，证明在非比例、迹为零的矩阵条件下，顶部Lyapunov指数Λ > 0。
• 证明正的Lyapunov指数的存在意味着轨迹几乎必然不收敛到平衡点，并且种群密度发生无限振荡。
• 通过反证法，利用强马氏性质和矩估计（Eₓ,ᵢ[η^{τ^ε}] ≤ C(1 + ||x−(p,q)||^{−θ})) 排除收敛的可能性。
• 利用向量场非共线且满足αᵢ² + βᵢγᵢ < 0的性质，确保线性系统的不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有在两个确定性Lotka–Volterra系统之间随机切换的捕食者-猎物系统是否会收敛到其共同平衡点？
• RQ2 当切换过程为马氏过程且两个系统共享一个平衡点时，种群密度的长期行为是什么？
• RQ3 线性化系统的Lyapunov指数能否决定原始非线性PDMP的非收敛性？
• RQ4 在切换速率和系统参数满足何种条件下，轨迹保持有界或发散？
• RQ5 从长远来看，该过程是瞬态的、零常返的，还是正常返的？

主要发现

• PDMP的轨迹几乎必然不会收敛到共同平衡点(p,q)，即使两个系统都共享该点。
• 以概率1，猎物和捕食者种群密度满足limsup xₜ = limsup yₜ = ∞ 且 liminf xₜ = liminf yₜ = 0。
• 存在一个正的Lyapunov指数λ > 0，使得limₜ→∞ (log||Yₜ||)/t = λ，表明系统相对于平衡点呈指数发散。
• 非收敛性源于线性化系统具有正的顶部Lyapunov指数，当A₀和A₁非比例且形式为(αᵢ βᵢ; γᵢ -αᵢ)且满足αᵢ² + βᵢγᵢ < 0时成立。
• 证明依赖于矩估计和强马氏性质，表明过程无法在(p,q)附近长期停留，从而与收敛矛盾。
• 该结果证实了Takeuchi等人（2006年）的猜想：即使两个系统各自稳定，随机切换仍可阻止收敛。