[论文解读] On a problem by R. Salem concerning Minkowski's question mark function

Tomas Persson|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文解決了 R. Salem 於 1943 年提出的長期懸而未決的問題，即關於 Minkowski 問題符函數的傅里葉衰減性質。透過利用 Jordan 與 Sahlsten 近年來關於正 Hausdorff 維度之 Gibbs 測度的傅里葉衰減結果，作者確立了與該 Stieltjes 測度相關之傅里葉變換在無窮遠處呈多項式衰減。

ABSTRACT

Minkowski's question mark function is strictly increasing on $[0, 1]$ and hence defines a Stieltjes measure on $[0, 1]$. A problem originating from Salem in 1943, is to determine whether the Fourier series of this measure decay to zero or not. The purpose of this note is to mention that a recent result by Jordan and Sahlsten implies that the Fourier transform decays to zero with a polynomial speed.

研究动机与目标

• 回應 R. Salem 對 Minkowski 問題符函數之傅里葉級數是否衰減至零之未解疑問。
• 確定由該函數所誘導之 Stieltjes 測度之傅里葉變換之衰減速率。
• 將此問題與測度之 Hausdorff 維度連結，並應用分形調和分析中已知之結果。
• 證明測度之正 Hausdorff 維度可導致非平凡之傅里葉衰減。
• 澄清此問題早已由 Jordan 與 Sahlsten 之先前工作解決，僅是未在此脈絡中被察覺。

提出的方法

• 利用連分數對 Minkowski 問題符函數之特徵描述，及其在 [0,1] 上所對應之測度 μ。
• 應用已知結果：μ 之 Hausdorff 維度大於 1/2，此結果源自於以 μ 為測度對 log₂(1+x) 之積分。
• 依賴 Jordan 與 Sahlsten（2013）之定理：若區間上之 Gibbs 測度其 Hausdorff 維度大於 1/2，則其傅里葉變換呈多項式衰減。
• 確立 μ 為 G-不變之伯努利測度，且在區間 Iₖ = (1/(k+1), 1/k] 上滿足 μ(Iₖ) = 2⁻ᵏ，符合該定理之條件。
• 結論：μ 之傅里葉變換滿足 |μ̂(ξ)| = O(|ξ|⁻ᵝ)，其中某 β > 0，且當 |ξ| → ∞ 時成立。
• 利用測度 μ 為 singular continuous 且嚴格遞增之性質，確保其在 [0,1] 上定義了一個良好行為之 Borel 概率測度。

实验结果

研究问题

• RQ1 Minkowski 問題符函數所對應之 Stieltjes 測度之傅里葉變換是否在無窮遠處衰減至零？
• RQ2 此測度之傅里葉係數之衰減速率為何？
• RQ3 衰減行為是否可從測度之幾何性質（如其 Hausdorff 維度）推導而出？
• RQ4 是否存在已知定理可推導出具有正 Hausdorff 維度之測度其衰減為多項式？
• RQ5 為何此結果在 Salem 問題之脈絡中未被先前察覺？

主要发现

• 與 Minkowski 問題符函數相關之 Stieltjes 測度 μ 之傅里葉變換在 |ξ| → ∞ 時衰減至零。
• 衰減為多項式：|μ̂(ξ)| = O(|ξ|⁻ᵝ)，其中某 β > 0，此結果由 Jordan 與 Sahlsten 之定理確立。
• μ 之 Hausdorff 維度大於 1/2，此條件已足夠觸發多項式衰減結果。
• 測度 μ 為由 Gauss 映射 G(x) = 1/x mod 1 所產生之 Gibbs 測度，且滿足 μ(Iₖ) = 2⁻ᵏ。
• 此結果在 Jordan 與 Sahlsten 之 2013 年論文中已隱含存在，僅是未在此脈絡中明確連結至 Salem 之問題，直至本篇註記方始明確指出。
• 作者確認此問題在他們知悉前即已解決，另一起替代解法於 2015 年 1 月 5 日出現在 arXiv 上，早於其自身之註記（2015 年 1 月 1 日）。